Bài giảng Trường điện từ - Chương 1: Vectơ và trường - Lecture 3: Mô hình toán của trường điện từ

Chương 1. Vectơ và trưꢀng

Lecture-3: Mô hình toán cꢁa TðT

[2. Be familiar with the 4 Maxwell’s equations used to study time-varying EM]

[3. Apply the Electromagnetics boudary conditions to solve for fields at

interface between two mediums]

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

4) Trưꢀng ñiꢂn tꢃ và các ñꢄnh luꢅt cơ bꢆn

a) ðiꢀn tích và phân bꢁ cꢂa ñiꢀn tích

b) ðꢄi lưꢅng ñꢆc trưng cho trưꢇng ñiꢀn

c) ðꢉnh luꢊt Gauss vꢋ ñiꢀn & quan hꢀ E,D

d) Dòng ñiꢀn, phân bꢁ cꢂa dòng ñiꢀn & ñl bꢃo toàn ñiꢀn tích

e) ðꢄi lưꢅng ñꢆc trưng cho trưꢇng tꢈ

f) ðꢉnh luꢊt Gauss vꢋ tꢈ

g) ðꢉnh luꢊt Ampère và quan hꢀ B,H

h) Lꢌc ñiꢀn ñꢍng cꢃm ꢎng và ñꢉnh luꢊt cꢃm ꢎng ñiꢀn tꢈ Faraday

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

1

a) ðiꢂn tích và phân bꢇ cꢁa ñiꢂn tích

dq

ρ_v= (C/m³)

⇒ q= ρ_vdv (C)

∫

V

dv

dS

dV

dq

ρ_S= (C/m²)

dS

dq

ρ_ℓ= (C/m)

dℓ

⇒ q= ρ_sdS (C)

∫

S

⇒ q= ρ_ℓdℓ (C)

∫

L

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

b) ðꢈi lưꢉng ñꢊc trưng cho trưꢀng ñiꢂn

ꢀ Thꢌc tꢐ: các vꢊt mang ñiꢀn tương tác lꢑn nhau

ꢀ Coulomb tìm ra bꢓng thꢌc nghiꢀm phương trình lꢌc ñiꢀn

a₁₂

a₂₁

R

ꢁꢀ

F _e1=

ꢀ

a₂₁F _e2=

ꢁꢀ

ꢀ

a₁₂

Q₁Q₂

4πε₀R²

Q₁Q₂

4πε₀R²





1

C²

F

  ñꢍ thꢏm ñiꢀn

ε₀=

10⁻⁹

or

 

2





cꢂa chân không

36π

Nm

m

 





K.luꢊn: xung quanh ñiꢀn tích tꢒn tꢄi trưꢇng lꢌc ꢁ Trưꢇng ñiꢀn

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

2

b) ðꢈi lưꢉng ñꢊc trưng cho trưꢀng ñiꢂn

ꢀ Vectơ cưꢇng ñꢍ trưꢇng ñiꢀn: ñꢆc trưng cho trưꢇng ñiꢀn

[Lꢌc ñiꢀn tác dꢔng lên 1 ñơn vꢉ ñiꢀn tích dương]

ꢁꢀ

E=lim

F_e

q

N

V

 

(N)

or

F_e=qE

 

q→0

C

 

m

 

Ví dꢔ: trưꢇng ñiꢀn cꢂa ñiꢀn tích ñiꢕm trong chân không

ꢁꢀ

F_e=q_t.

ꢀ

a_r

ꢁꢀ

E=

ꢀ

a_r

q

4πε₀r²

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

b) ðꢈi lưꢉng ñꢊc trưng cho trưꢀng ñiꢂn

ꢀ Faraday bꢓng thꢌc nghiꢀm ñã cho thꢖy mꢍt thꢌc tꢐ:

a → 0 ⇒ Q → q (point charge) ⇒ψ =q

ꢁꢀ

D =

ꢀ

a_r=

ꢀ

a_r

ψ

4πr²

q

4π r²

C

m²













ꢀ Mꢊt ñꢍ thông lưꢅng ñiꢀn:

ꢁꢀ

E=

ꢀ

q

ꢀ Trong chân không:

a_r

4πε₀r²

D = ε₀E

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

3

c) ðꢄnh luꢅt Gauss vꢋ ñiꢂn & quan hꢂ E,D

ꢀ Phát biꢕu:

Thông lưꢀng ñiꢁn thoát ra khꢂi mꢃt kín S bꢄt kỳ bꢅng

tꢆng ñiꢁn tích chꢇa bên trong S

DdS=q

ꢀ Phương trình toán dꢄng tích phân:

ꢂ∫_S

divD=ρ_V

ꢀ Phương trình toán dꢄng vi phân:

ꢀ Kꢐt luꢊn:

Nguꢈn sinh ra trưꢉng ñiꢁn là ñiꢁn tích, bꢊt ñꢋu ꢌ ñiꢁn tích

dương và kꢍt thúc ꢌ ñiꢁn tích âm hoꢃc bꢊt ñꢋu và kꢍt thúc

ꢌ vô cùng

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

c) ðꢄnh luꢅt Gauss vꢋ ñiꢂn & quan hꢂ E,D

ꢀ Áp dꢔng ðL Gauss cho hiꢀn tưꢅng phân cꢌc ñiꢀn môi

Dipole ñiꢀn

d

Q

ꢂ Dipole ñiꢀn:

-Q

-

p =Qd (Cm)

+

N∆V

ꢁꢀ

P= lim

ꢀ

1

p =Np (C / m²)

k

ꢂ Vectơ phân cꢌc ñiꢀn:

∑

∆V→0

∆V

k=1

ꢂ Tính tꢗng ñiꢀn tích phân cꢌc:

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

4

c) ðꢄnh luꢅt Gauss vꢋ ñiꢂn & quan hꢂ E,D

dq_P= − NQddS= − PdS

(C)

PdS

^{q = −}ꢂ∫

P

S

ꢂ Tương ñương mô hình: ðiꢀn môi ꢁ CK & ðT phân cꢌc

q= DdS

ꢂ∫

S

D=ε₀E+P

q_P+q= ε₀EdS

ꢂ∫

S

^{q = −}ꢂ∫

PdS

P

S

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

c) ðꢄnh luꢅt Gauss vꢋ ñiꢂn & quan hꢂ E,D

ꢂ Nꢐu môi trưꢇng ñꢒng nhꢖt ñꢘng hưꢙng tuyꢐn tính:

⇒

P=χ_eε₀E

D=εE

ꢂ ε₀=1/(36πx10⁹) (F/m): hꢓng sꢁ ñiꢀn

ꢂ χ_e: ñꢍ cꢃm ñiꢀn cꢂa môi trưꢇng

ꢂ ε_r=1+χ_e: ñꢍ thꢏm ñiꢀn tương ñꢁi

ꢂ ε=ε_rε₀: ñꢍ thꢏm ñiꢀn (F/m)

Free space: ε_r=1

Air: ε_r=1.0006

Paper: ε_r=2.0-3.0

Wet earth ε_r=10

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

5

d) Dòng ñiꢂn, phân bꢇ cꢁa dòng ñiꢂn & ñl bꢆo toàn ñiꢂn tích

dq

ꢀ Cưꢇng ñꢍ dòng ñiꢀn:

i=

(A)

dt

ꢀ Cưꢇng ñꢍ dòng ñiꢀn qua dS

N

dS

n

dS

ꢀꢁꢁꢀ

= NQvdS

+

dq

dt

dℓ = vdt

di=

+

a_n

dV=dℓdS

ꢀ

J =

ꢀ

a

di

2

ꢀ ðꢉnh nghĩa vectơ mꢊt ñꢍ dòng ñiꢀn:

ⁿ(A/m )

dS_n

(A/m²)

J = ρ _Vv

J = NQv

di=JdS

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

d) Dòng ñiꢂn, phân bꢇ cꢁa dòng ñiꢂn & ñl bꢆo toàn ñiꢂn tích

ꢀ Mꢊt ñꢍ dòng ñiꢀn mꢆt:

ꢀ

di

dl

A

m





J_S= a_n= ρ_Sv









ꢀ Quan hꢀ J, E

σ(S/m) or (1/Ωm): ñꢍ dꢑn ñiꢀn

ðꢉnh luꢊt Ohm :

J=σ E

Ví dꢔ: Silver: σ=6.1x10⁷(S/m); Copper: σ=5.8x10⁷(S/m);

Sea water: σ=4(S/m)

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

6

d) Dòng ñiꢂn, phân bꢇ cꢁa dòng ñiꢂn & ñl bꢆo toàn ñiꢂn tích

ꢀ ðꢉnh luꢊt bꢃo toàn ñiꢀn tích:

Trong mꢎt hꢁ cô lꢏp vꢐ ñiꢁn ꢁ ñiꢁn tích ñưꢀc bꢑo toàn

Dòng ñiꢁn thoát ra khꢂi mꢃt kín S bꢅng và ngưꢀc dꢄu

vꢒi tꢓc ñꢎ thay ñꢆi ñiꢁn tích trong S

ꢀꢁꢁꢀ

JdS= −

ꢀ

∂ρ_V

dq

dt

divJ= −

ꢂ∫

S

∂t

KL: ñiꢀn tích thay ñꢗi sinh ra dòng ñiꢀn

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

e) ðꢈi lưꢉng ñꢊc trưng cho trưꢀng tꢃ

ꢀ Xung quanh nam châm vĩnh cꢚu tꢒn tꢄi mꢍt trưꢇng lꢌc?

ꢀ Hans Christian Oersted phát hiꢀn kim tꢈ bꢉ làm lꢀch bꢛi

dòng ñiꢀn trong dây dꢑn

ꢀ Biot & Savart xác ñꢉnh PT tính mꢊt ñꢍ thông lưꢅng tꢈ:

ꢁꢁꢀ

dB=

µ₀

4π R²

Idℓ×a_R

L

ꢁꢀ

B=

µ₀Idℓ×a_R

H

  ñꢍ thꢏm tꢈ

µ₀=4π10⁻⁷

 

2

∫

cꢂa c.không

^L4π R

m

 

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

7

e) ðꢈi lưꢉng ñꢊc trưng cho trưꢀng tꢃ

ꢀ Ampère xác ñꢉnh PT tính lꢌc tꢈ giꢜa 2 dây mang dòng

dF_m1=I₁dℓ₁×dB₂

dF_m2=I₂dℓ₂×dB₁

ꢀ Ý nghĩa cꢂa B:lꢔc tꢕ tác dꢖng lên 1 ñơn vꢗ dòng

B (N/Am) B (Wb/m²) B (T)

ꢀ Lꢌc tꢈ tác dꢔng lên ñiꢀn tích chuyꢕn ñꢍng:

F_m=qv×B

A

ꢀ Vectơ cưꢇng ñꢍ trưꢇng tꢈ trong c.không:

(

_m

)

H = B / µ₀

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

e) ðꢈi lưꢉng ñꢊc trưng cho trưꢀng tꢃ

ꢀ Ampère xác ñꢉnh PT tính lꢌc tꢈ giꢜa 2 dây mang dòng

dF_m1=I₁dℓ₁×dB₂

dF_m2=I₂dℓ₂×dB₁

ꢀ Ý nghĩa cꢂa B:lꢔc tꢕ tác dꢖng lên 1 ñơn vꢗ dòng

B (N/Am) B (Wb/m²) B (T)

ꢀ Lꢌc tꢈ tác dꢔng lên ñiꢀn tích chuyꢕn ñꢍng:

F_m=qv×B

A

ꢀ Vectơ cưꢇng ñꢍ trưꢇng tꢈ trong c.không:

(

_m

)

H = B / µ₀

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

8

f) ðꢄnh luꢅt Gauss vꢋ tꢃ

ꢀ ðưꢇng thông lưꢅng tꢈ khép kín:

Nên có ñꢄnh luꢅt Gauss vꢋ tꢃ:

Thông lưꢀng tꢕ (tꢕ thông) thoát ra khꢂi mꢃt kín S bꢄt kỳ

luôn luôn bꢅng không

BdS=0

divB=0

ꢂ∫

S

KL: không có nguꢒn tꢈ tích sinh ra trưꢇng tꢈ

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

g) ðꢄnh luꢅt Ampère & quan hꢂ B,H

ꢀ ðꢉnh luꢊt Ampère:

Lưu sꢓ cưꢉng ñꢎ trưꢉng tꢕ dꢘc theo ñưꢉng kín C bꢅng

tꢆng dòng ñiꢁn qua diꢁn tích giꢒi hꢙn bꢌi C

Hdℓ=I

ꢂ∫_C

rotH=J

KL: Dòng ñiꢀn sinh ra trưꢇng tꢈ xoáy

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

9

g) ðꢄnh luꢅt Ampère & quan hꢂ B,H

ꢀ Phân cꢌc tꢈ môi và quan hꢀ cꢂa B vꢙi

H

N∆V

ꢁꢁꢀ

ꢁꢀ

1

A

 

M= lim

m_k=Nm

∑

 

^∆V→0∆V

m

 

k=1

dℓ

ꢂ Tꢗng cưꢇng ñꢍ dòng phân

cꢌc qua mꢆt S giꢙi hꢄn bꢛi C:

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

g) ðꢄnh luꢅt Ampère & quan hꢂ B,H

^{I =}ꢂ∫_C^Mdℓ

dℓ

p

ꢂ Tương ñương mô hình: Tꢈ môi ꢁ CK & dòng ñiꢀn phân cꢌc

H dℓ

^{I =}ꢂ∫

C

ꢁꢀ

H=

ꢁꢁꢀ

− M

B

µ₀

(B / µ₀)dℓ

M dℓ

^{I + I =}ꢂ∫

P

C

^{I =}ꢂ∫

p

C

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

10

g) ðꢄnh luꢅt Ampère & quan hꢂ B,H

ꢂ Môi trưꢇng ñꢒng nhꢖt & tuyꢐn tính:

⇒

M = χ_mH

B=µH

ꢂ µ₀=4πx10⁷(H/m): hꢓng sꢁ tꢈ

ꢂ χ_m: ñꢍ cꢃm tꢈ cꢂa môi trưꢇng

ꢂ µ_r=1+χ_m: ñꢍ thꢏm tꢈ tương ñꢁi

ꢂ µ=µ_rµ₀: ñꢍ thꢏm tꢈ (H/m)

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

h) Lꢌc ñiꢂn ñꢍng cꢆm ꢎng & ñl cꢆm ꢎng ñiꢂn tꢃ Faraday

ꢀ Trưꢇng ñiꢀn cꢃm ꢎng :

F_m=q_ev× B

E=v× B

(Trưꢇng ñiꢀn cꢃm ꢎng)

v

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

11

h) Lꢌc ñiꢂn ñꢍng cꢆm ꢎng & ñl cꢆm ꢎng ñiꢂn tꢃ Faraday

ꢀ Lꢌc ñiꢀn ñꢍng cꢃm ꢎng :

E=v×B=v B₀a_y

_bꢁꢀꢁꢁꢀ⁰

⇒ e = Edℓ

∫

a

b

=v₀B₀dy=v₀B₀L

∫

a

v

dΦ = BdS= − B₀Ldx

dΦ

dt

⇒

= −v₀B₀L

e = −

dt

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

h) Lꢌc ñiꢂn ñꢍng cꢆm ꢎng & ñl cꢆm ꢎng ñiꢂn tꢃ Faraday

ꢀ ðꢉnh luꢊt Faraday:

ꢁꢀꢁꢁꢀ

Edℓ=-

ꢁꢀꢁꢁꢀ

BdS

ꢁꢀ

d

dt

∂B

∂t

rotE= −

ꢂ∫_C

∫

S

KL: Trưꢇng tꢈ biꢐn thiên sinh ra trưꢇng ñiꢀn xoáy

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

12

Bài giảng Trường điện từ - Chương 1: Vectơ và trường - Lecture 3: Mô hình toán của trường điện từ - Trần Quang Việt