Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 2.2: Phép biến đổi Laplace - Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Part 2:

Phép biến đổi Laplace

I. Phép biến đổi Laplace

►II. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

s

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

1. Giải phương trình vi phân

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

. Mạch điện

. Hệ thống cơ học

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Giải phương trình vi phân

a. Tính chất biến đổi Laplace của đạo hàm

Biến đổi Laplace của f⁽ⁿ⁾(t) = dⁿf/dtⁿ:

L

{f⁽ⁿ⁾(t)} = sⁿF(s) – s^n-1f(0) – s^n-2f⁽¹⁾(0) - … - f^(n-1)(0)

L

{f⁽³⁾(t)} = s³F(s) – s²f(0) – sf⁽¹⁾(0) - f⁽²⁾(0)

{f’’(t)} = s²F(s) – sf(0) –f’(0)

{f’(t)} = sF(s) –f(0)

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Giải phương trình vi phân

b. Phương trình vi phân cổ điển (ODE)

Chúng ta có thể ứng dụng phép biến đổi Laplace

để giải các phương trình vi phân cổ điển có hệ số hằng.

Ví dụ, xét phương trình vi phân bậc 2:

ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = f(t)

Với các điều kiện đầu: y(0) = α, y’(0) = β.

Lấy biến đổi Laplace hai vế:

a[s²Y(s) – sy(0) – y’(0)] + b[sY(s) – y(0)] + cY(s) = F(s)

F(s) (as  b)  a

 Y(s) 

as

²

bs



c

Cuối cùng, lấy biến đổi Laplace ngược, ta có y(t).

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Giải phương trình vi phân

Một số nhận xét

. Ưu điểm lớn nhất của việc sử dụng phép biến đổi

Laplace đó là ta có thể thay thế các phép toán đạo

hàm (tích phân) bằng các phép toán đại số thông

thường.

. Khi sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương

trình vi phân, thì các điều kiện đầu được sử dụng

ngay ở bươc đầu tiên.

. Phương pháp này bị hạn chế đối với các bài toán

không cho trước điều kiện đầu.

. Đa thức ở mẫu số của Y(s) chính là đa thức đặc trưng

trong lời giải cổ điển.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Giải phương trình vi phân

Ví dụ 2.01: Giải phương trình vi phân:

y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = 2e^-t

Với điều kiện đầu: y(0) = 1, y’(0) = 0

Giải:

Lấy biến đổi Laplace:

2

s 1

2







s Y(s)  s.1 0  5sY(s) 1  6Y(s) 





2

s  5

 Y(s) 



(s 1)(s  2)(s  3) (s  2)(s  3)

 y(t)  e^t e^2t e^3t

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Giải phương trình vi phân

Ví dụ 2.02: Giải các phương trình vi phân sau:

a. y’’(t) + 6y’(t) + 9y(t) = sint ; y(0) = 0, y’(0) = 0

b. y’’(t) + 9y(t) = 18t ;

y(0) = 0, y(π/2) = 0

Đáp án:

3

50

1

10

2

25

3

50

a. y(t)  e^3t te^3t sint  cost

b. y(t)  2t  sin 3t

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Giải phương trình vi phân

Ví dụ 2.03: Tìm nghiệm y(t) của phương trình vi phân:

y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) ; y(0) = 0, y’(0) = 2

3 t [0,6)

f(t) 





0 t [0,6)

Đáp án:

3 3

F(s)   e^6s

s s

2s  3

s(s  2)(s  3) s(s  2)(s  3)

 1 1  1 3

3e^6s

Y(s) 





 y(t)   e^2t e^3t  e^2(t6) e^3(t6)u(t  6)









2 2



 



Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Giải phương trình vi phân

c. Hệ phương trình vi phân

Ví dụ 2.04: Giải hệ phương trình vi phân bậc nhất sau:

t





x'(t)  y'(t)  5x(t)  3y(t)  e

2x'(t)  y'(t)  x(t)  y(t)  3

; x(0)  2, y(0)  1







Đáp án:

Sử dụng phép biến đổi Laplace ta được:

2s²14s  9



9 11

2 6

25

3

x(t)    e^2t e^t

X(s) 







s(s  2)(s 1)







s³ 22s² 39s 15

s(s 1)(s  2)(s 1)

15 1 11

25

2

t

2t

t



y(t)   e  e  e

Y(s) 









2 2

2

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

a. Mạch điện

Quan hệ giữa điện áp và dòng điện của các linh

kiện cơ bản trong miền t (miền thời gian) và miền s:

. Điện trở:

u_R(t) = R.i_R(t)  U_R(s) = R.I_R(s)

. Điện cảm (cuộn dây):

u_L(t) = L.di_L(t)/dt  U_L(s) = sL.I_L(s) – L.i_L(0)

. Điện dung (tụ điện):

du_C(t)

1

s

i_C(t)  C

U_C(s)  I_C(s)  u_C(0)

sC

dt

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Mạch điện trong miền s:

. Mô hình của các phần tử cơ bản trong miền s:

R

IR(s)

• Điện trở

+

UR(s)

-

L.iL(0)

IL(s) sL

• Điện cảm

• Điện dung

+

IC(s)

UL(s)

-

1/sC uC(0)/s

UC(s)

+

-

. Các điện áp và dòng điện trong miền s:

u(t)  U(s); i(t)  I(s)

. Mối liên hệ giữa các phần tử trong mạch được xác

định bởi định luật Kirchhoff và định luật Ohm.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Ví dụ 2.05: Tìm dòng điện i(t) trong mạch sau:

1H

i(t)

3W

0.5F

10u(t)

Lời giải: Trong trường hợp này, ta thấy các điều kiện đầu

đều bằng 0, do đó ta có mô hình mạch trong miền s như

sau:

s

I(s)

10

3

I(s) 

s² 3s  2

2/s

10/s

 i(t)  10 e^t e^2tu(t)





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Ví dụ 2.06: Tìm dòng i trong mạch biên sau:

1H

i(t)

3W

5W

0.5F

10

t = 0:

open circuit

Lời giải: Trong trường hợp này, ta phải xác định các điều

kiện đầu:

. t < 0: mạch xác lập

 i_L(0)  2A





i(t)

3W

u_C(0)  10V

iL(0-)

+

IMPORTANT NOTICE :

uC(0-)

5W

10

 i_L(0)  i_L(0)  i_L(0)

-



u_C(0)  u_C(0)  u_C(0)



Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Ví dụ 2.06 (tt):

. t > 0: mạch quá độ

Mạch trong miền s:

s

2

3

I(s)

2/s

10/s

2s

I(s) 

 i(t)  2e^t 4e^2t





s

²

3

s



2

t

2t





Đáp án:

i(t)  2e  4e

i(t)  2

t  0

t  0







Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Ví dụ 2.07: Xác định u_C(t).

30H

iL(t)

+

12[1+u(t)] V

0.2F

5W

uC(t)

-

Answer:

 t < 0  điều kiện đầu

 i_L(0)  2A



u_C(0)  12V



1

3

1

2





 t

u_C(t)  24  24e  36e

t  0

t  0

 Kết quả:







u_C(t)  12

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Ví dụ 2.08: Xác định i₁(t) và i₂(t).

1F

1W

i1(t)

+

-

i2(t)

uC(t)

20V

0.2W

4V

0.5H

t = 0:

open circuit

Answer:

 t < 0

i_L(0)  i₂(0)  4A



u_C(0)  16V





3t

4t





24e  48e t  0

i (t) 

 ₁



0

t  0











 Kết quả

3t

4t

16e 12e

t  0

t  0



i (t) 



2



4





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

b. Các hệ cơ học

Basic elements of mechanical translational systems

are masses, spings and dampers:

The relationships between the forces and

displacement at time t are:

d²x

mass : F  M  Mx'' (Newton's law)

dt²

spring : F  K(x₂ x₁)

(Hooke'slaw)

 dx₂dx₁

damper : F  B



 B(x ' x ')









2

1

dt dt

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Example 2.09: Determine the resulting displacement x(t)

of the mass, given that x(0) = x’(0) = 0, in the mass-

spring-damper system below:

F1(t) = Kx(t) F2(t) = Bx (t)

K = 25

B = 6

M

M = 1

x(t)

F(t)

x(t)

F(t) = 4sinwt

w = 2

Solution: by Newton’s law:

Mx''(t)  F(t)  F (t)  F (t)

1

2

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Example 2.08 (cont):

We have the differential equation representing the

motion of the system:

x’’(t) + 6x’(t) + 25x(t) = 4sin2t

Taking Laplace transform with the given initial

conditions, lead to:

8

X(s) 

(s² 4)(s² 6s  25)

4 4s 14 2 8(s  3)  4





2

s² 4

(s  3) 16

195

4

195

2

195

 x(t) 

2sin 2t  4cos2t  e^3t8cos4t sin 4t









Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 2.2: Phép biến đổi Laplace - Ứng dụng của phép biến đổi Laplace - Nguyễn Phước Bảo Duy