Bài giảng Tin học trong công nghệ hóa học – thực phẩm - Chương: Giải phương trình vi phân đạo hàm riêng trên Microsoft Excel

ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC BAÙCH KHOA

___oOo___

GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑAÏO HAØM RIEÂNG

TREÂN MICROSOFT EXCEL

PGS. TS. TRÒNH VAÊN DUÕNG

BOÄ MOÂN: QUAÙ TRÌNH VAØ THIEÁT BÒ CN HOÙA - TP

GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏO HAØM RIEÂNG

1. Ñaët vaán ñeà:

2. Thöïc hieän baèng Excel

3. ÖÙng duïng trong coâng ngheä Hoaù – Thöïc phaåm

4. Baøi taäp

1. Ñaët vaán ñeà:

Ñeå giaûi phöông trình vi phaân ñaïo haøm rieâng:

Phöông phaùp löôùi

Phöông phaùp sai phaân höõu haïn

Phöông trình vi phaân daãn nhieät:

2





t



 t  t  t

x y z

2



₂



 a  a  

2







Caàn tìm giaù trò haøm t(x, y, z) thoûa maõn phöông trình treân

Vôùi ñieàu kieän ñaàu:



 



t   0, x, y, z  g₀x, y, z

Ñieàu kieän bieân:

t



, L



 g₂



 

   

t ,0  g₁

1. Ñaët vaán ñeà:

Xeùt quaù trình caáp ñoâng:

2





t



 t  t  t

2





 a  a  

2



x y z





2

 

t  t

Xem z, y >>x:

t



, L



 g₂



 

 

 a

2

 

 x

 

Caàn tìm giaù trò haøm t(, x, y, z)

thoûa maõn phöông trình treân

Vôùi ñieàu kieän ñaàu:



 



t   0, x, y, z  g₀x, y, z

Ñieàu kieän bieân:

   

t  ,0  g₁

1. Ñaët vaán ñeà:

U ²U

 D

Ñôn giaûn khaûo saùt baøi toaùn:

 x²

U



0,x



 f

x

 

Vôùi ñieàu kieän ñaàu:

Ñieàu kieän bieân:

U



,0



g



₁



   

Vaø U ,L  g₂

Ñoåi bieán: D = 1 vaø L = 1

Thì baøi toaùn coù daïng:

U ²U



 x²

Ñieàu kieän ñaàu vaø ñieàu kieän bieân:

U^0,0^ f^0^ g ^0^

1

     

U 0,1  f 1  g₂0

Phöông phaùp tieán haønh:

Xaây döïng treân maët phaúng X0T löôùi vuoâng goùc ñeàu

Böôùc h theo x: x₀= a; x_i= x₀+ i.h; x_n= n.h = b;

Theo  daïng:

x  i.h i  0,n

•nuùt löôùi

  j.k j  0,

 _j j.k

x_i i.h

haøm löôùi

 

U x_i, _j U_{i, j}

Treân nuùt baát kyø cuûa löôùi soá (i,j) xaùc ñònh baèng toïa ñoä

 

U x, U

i j

i, j

Khoaûng  0 vaø 0  x  1 cuûa ñieàu kieän bieân

ñieàu kieän ñaàu (ñieàu kieän giôùi haïn)

Phöông phaùp tieán haønh:

Ñieåm beân trong cuûa löôùi baèng ñaïo haøm rieâng phaàn theo:

khoâng gian

thôøi gian cuûa sai phaân höõu haïn:

2

 

 U

1

 





 U_{i, j1} 2U_{i, j}U_{i, j1}

2

x

h²

 

 _{i, j}

U

 



 _{i, j}

1





 U_{i, j1}U_{i, j}

 

•Ñaïo haøm baäc 1 coù daïng:

k

Phöông phaùp tieán haønh:

Phöông trình vi phaân trở thaønh daïng đại số:

1



 



U_{i, j1}U_{i, j} U_{i1, j} 2U_{i, j}U_{i1, j}

k

h²

k

h²

Đaët:

q 

Ta coù phöông trình:





 

U_{i, j1} 1 2q U_{i, j} q U_{i1, j}U_{i1, j}

Phöông phaùp tieán haønh:





 

U_{i, j1} 1 2q U_{i, j} q U_{i1, j}U_{i1, j}

Khi cho: i = 0, 1, 2, …, n

j = 0

Veá phaûi cuûa phöông trình ñaõ cho tính theo ñieàu kieän giôùi haïn.

Neân coù theå tính caùc giaù trò ôû lôùp ban ñaàu khi j = 1.

Caùc giaù trò tieáp theo töø j = 2 seõ tính theo caùc giaù trò cuûa böôùc

tröôùcù:

1





U _{i, j} U _{i1, j1} U _{i1, j1}

2

3. Xaáp xæ baøi toaùn vi phaân thaønh baøi toaùn sai phaân:

Ñaïo haøm taïi moät ñieåm i naøo ñoù, coù theå bieåu dieãn döôùi daïng sai

phaân nhö sau:

y

 

x

 _i

y_i1 y_iy_i y_i1



 

h

1



y_i1 y_i







y_i y_i1



2





 y

y_i1 2y_i y_i1

h







2

x

h

h²



_i

Baèng caùch töông töï ta coù theå bieåu dieãn sai phaân cho caùc ñaïo haøm

caáp cao.

Giaû söû haøm y(x) ñöôïc cho bôûi caùc giaù trò: y₀, y₁, …, y_i-1, y_i, … taïi

nhöõng ñieåm coù khoaûng caùch ñeàu nhau h. Thì sai phaân luøi taïi ñieåm i

cuûa haøm y:

y_i y_i y_i1

²y  

³y_i y_i 3y_{i 1} 3y_{i  2} y_{i 3}



y_i





y  y_i1





y  y_i2  y 2y  y

i

i1

i

i1

i2

⁴y_i y_i 4y_i1 6y_i2 4y_i3 y_i4

3. Xaáp xæ baøi toaùn vi phaân thaønh baøi toaùn sai phaân:

Sai phaân tieán coù daïng:

y_i y_i1 y_i

²y_i y_{i  2} 2 y_{i 1} y_i

³y_i y_i3 3y_i2 3y_i1 y_i

h



 



y  y x   y x   y  y

Sai phaân trung taâm:



 



i

1

2

1

2

i

i

2



 



 ²y_i y_i1 2y_i y_i1

 ³y_i y  3y  3y  y

3

2

1

2

1

2

3

2

i

i

 ⁴y_i y_i2 4y_i1 6y_i 4y_i1 y_i2

Xaáp xæ phöông trình vi phaân thaønh sai phaân:

U^"



x



 AU ^'



x



 BU



x



 f

x

 

3. Xaáp xæ baøi toaùn vi phaân thaønh baøi toaùn sai phaân:

Xaáp xæ phöông trình vi phaân thaønh sai phaân:

U^"



x



 AU ^'



x



 BU



x



 f

 

x

U_i1 2U_iU_i1

U_i1U_i

Xaáp xæ baèng:

 A

 BU_i _i f x_i

 

h²

h

_X^X

1

i  1

 

f



x dx



Coù theå:

i

i  1

2 h

K





x

^dU q



x



U



x



  f

 

x

d







dx





1

U _{i 1} U _i

U _i U





_{i 1}



xaáp xæ baèng:

trong ñoù:

a

 a_i

 q U    0

i 1

i

h





K_i K_i1

a_i

2

4. Thöïc hieän treân Excel:

Thöïc hieän treân Excel vôùi ví duï: Tìm haøm U(x,t) thoaû maõn phöông

 ²U

x ²

trình:

U



 D

Vôùi ñieàu kieän ñaàu (hình sin):

Ñieàu kieän bieân loaïi 1:

   





U x,0  sin  x khi x  0,1

 

U 0,  0 vaø U 1,  0

Choïn böôùc cuûa bieán x laø 0,1, töùc laø coù n = 10 böôùc; Do q = 0,5; neân

h²

böôùc theo bieán  laø :

k   0,005

2

Ñeå giaûi baøi toaùn treân Excel ta laäp baûng tính sau:

4. Thöïc hieän treân Excel:

•Coät A: x, theå hieän lôùp i töø 0 ñeán 30;

•Coät B vaø coät L: U(0,) = 0;

•Coät C ñeán K tính lôùp i: haøng ñaàu: ñieàu kieän ñaàu C3:K3: U(x,0) =

sin(x) = sin(3,14.C2:K2); Haøng tieáp theo: C4:K4 tính

C_i1 D_i1

C_i K_i: C_i

•sau ñoù Copy

2

Keát quaû tính neáu trong baûng sau:

Lôùp, x

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

ớ

L p, x

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1



0

1

2

3

4

5

6

7

0

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

ớ

L p, x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1



0

1

2

3

4

5

6

7

0 =SIN(3,14*C1) 0,588 0,809 0,951 1 0,951 0,81 0,589 0,31 0

0

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Lôùp, x

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1



0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,309 0,588 0,809 0,951 1 0,951 0,81 0,589 0,31 0

0

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Lôùp, x

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1



0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,309 0,588 0,809 0,951 1 0,951 0,81 0,589 0,31 0

0 0,294 0,559 0,769 0,904 0,951 0,905 0,77 0,56 0,294 0

0 0,279 0,531 0,732 0,86 0,905 0,861 0,732 0,532 0,28 0

0 0,266 0,505 0,696 0,818 0,86 0,819 0,696 0,506 0,266 0

0 0,253 0,481 0,662 0,778 0,818 0,778 0,662 0,481 0,253 0

0 0,24 0,457 0,629 0,74 0,778 0,74 0,63 0,458 0,241 0

0 0,229 0,435 0,599 0,704 0,74 0,704 0,599 0,435 0,229 0

0 0,217 0,414 0,569 0,669 0,704 0,67 0,57 0,414 0,218 0

0 0,207 0,393 0,542 0,637 0,67 0,637 0,542 0,394 0,207 0

0 0,197 0,374 0,515 0,606 0,637 0,606 0,515 0,374 0,197 0

0 0,187 0,356 0,49 0,576 0,606 0,576 0,49 0,356 0,187 0

0 0,178 0,338 0,466 0,548 0,576 0,548 0,466 0,339 0,178 0

0 0,169 0,322 0,443 0,521 0,548 0,521 0,443 0,322 0,169 0

0 0,161 0,306 0,421 0,495 0,521 0,495 0,421 0,306 0,161 0

0 0,153 0,291 0,401 0,471 0,495 0,471 0,401 0,291 0,153 0

0 0,146 0,277 0,381 0,448 0,471 0,448 0,381 0,277 0,146 0

0 0,138 0,263 0,363 0,426 0,448 0,426 0,363 0,263 0,138 0

0 0,132 0,251 0,345 0,405 0,426 0,405 0,345 0,251 0,132 0

0 0,125 0,238 0,328 0,385 0,405 0,385 0,328 0,238 0,125 0

0 0,119 0,227 0,312 0,367 0,385 0,367 0,312 0,227 0,119 0

0 0,113 0,215 0,297 0,349 0,367 0,349 0,297 0,216 0,113 0

0 0,108 0,205 0,282 0,332 0,349 0,332 0,282 0,205 0,108 0

0 0,102 0,195 0,268 0,315 0,332 0,315 0,268 0,195 0,102 0

0 0,097 0,185 0,255 0,3 0,315 0,3 0,255 0,185 0,097 0

0 0,093 0,176 0,243 0,285 0,3 0,285 0,243 0,176 0,093 0

0 0,088 0,168 0,231 0,271 0,285 0,271 0,231 0,168 0,088 0

0 0,084 0,159 0,219 0,258 0,271 0,258 0,22 0,159 0,084 0

0 0,08 0,152 0,209 0,245 0,258 0,245 0,209 0,152 0,08 0

0 0,076 0,144 0,199 0,233 0,245 0,233 0,199 0,144 0,076 0

0 0,072 0,137 0,189 0,222 0,233 0,222 0,189 0,137 0,072 0

0 0,069 0,13 0,18 0,211 0,222 0,211 0,18 0,13 0,069 0

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Bài giảng Tin học trong công nghệ hóa học – thực phẩm - Chương: Giải phương trình vi phân đạo hàm riêng trên Microsoft Excel - Trịnh Văn Dũng