Bài giảng Lý thuyết mạch điện - Chương 5: Mạch điện bậc hai
1
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
Ò CHƯƠNG 5
MẠCH ĐIỆN BẬC HAI
Ò MẠCH ĐIỆN VỚI HAI PHẦN TỬ TÍCH TRỬ NĂNG LƯỢNG (L&C)
Ò LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI
Ô Đáp ứng tự nhiên
Ô Đáp ứng ép
Ô Đáp ứng đầy đủ
Ô Điều kiện đầu và điều kiện cuối
Ò TÍNH CHẤT VÀ Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA CÁC ĐÁP ỨNG
Ô Đáp ứng tự nhiên
Ô Đáp ứng ép
Ò ĐÁP ỨNG ÉP ĐỐI VỚI est
Trong chương trước chúng ta đã xét mạch đơn giản , chỉ chứa một phần tử tích trữ
năng lượng (L hoặc C), và để giải các mạch này phải dùng phương trình vi phân bậc nhất.
Chương này sẽ xét đến dạng mạch phức tạp hơn, đó là các mạch chứa hai phần tử tích
trữ năng lượng và để giải mạch phải dùng phương trình vi phân bậc hai.
Tổng quát, mạch chứa n phần tử L và C được diễn tả bởi phương trình vi phân bậc n. Tuy
nhiên để giải các mạch rất phức tạp này, người ta thường dùng một phương pháp khác: Phép
biến đổi Laplace mà ta sẽ bàn đến ở một chương sau.
5.1 MẠCH ĐIỆN VỚI HAI PHẦN TỬ TÍCH TRỮ NĂNG
LƯỢNG (L&C)
Thí dụ 5.1: Xác định i2 trong mạch (H 5.1)
Viết phương trình vòng cho mạch
di1
2
+ 12i1 − 4i2 = vg
(1)
(2)
(3)
dt
di2
dt
− 4i1 +
+ 4i2 = 0
1 di2
Từ (2): i1 = (
+ 4i2)
4 dt
Lấy đạo hàm (3)
di1 1 d2i2
di2
dt
(H 5.1)
= (
+ 4
)
(4)
dt
4 dt 2
Thay (3) và (4) vào (1) ta được phương trình để xác định i2
d2i2
di2
dt
+ 10
+ 16i2 = 2vg
(5)
dt 2
Phương trình để xác định i2 là phương trình vi phân bậc 2 và mạch (H 5.1), có chứa 2 phần
tử L và C, được gọi là mạch bậc 2.
Cũng có những ngoại lệ cho những mạch chứa
2 phần tử tích trữ năng lượng nhưng được diễn tả bởi
các phương trình vi phân bậc 1. Mạch (H 5.2)
_____________________________________________
LÝ THUYẾT
(H 5.2)
2
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
Chọn O làm chuẩn, viết KCL cho nút v1 và v2:
dv1
+ v1 = vg
(6)
dt
dv2
dt
+ 2v2 = 2vg
(7)
(6) và (7) là 2 phương trình vi phân bậc 1, mỗi phương trình chứa 1 ẩn số và
không phụ thuộc lẫn nhau.
Ở mạch (H 5.2) vì cùng một nguồn vg tác động lên hai mạch RC nên ta có thể thay
mạch này bằng hai mạch, mỗi mạch gồm nguồn vg và một nhánh RC, đây là 2 mạch bậc 1 , do
đó phương trình cho mạch này không phải là phương trình bậc 2.
5.2 LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI
Dạng tổng quát của phương trình vi phân bậc 2 với các hệ số là hằng số
d2y
dt 2
dy
+ a1
+ a0y = F(t)
(5.1)
dt
a1, a0 là các hằng số thực, dương, y thay cho dòng điện hoặc hiệu thế và F(t) là một hàm tùy
vào nguồn kích thích.
Ap dụng cho mạch (H 5.1) thì
a1 = 10, a0 = 16, y = i2 và F(t) =2vg
Nghiệm của phương trình (5.1) gồm 2 thành phần:
- Nghiệm tổng quát của phương trình không vế 2, chính là đáp ứng tự nhiên yn
- Nghiệm riêng của phương trình có vế 2, chính là đáp ứng ép yf:
y=yn+yf
(5.2)
(5.3)
* Đáp ứng tự nhiên yn là nghiệm của phương trình:
d2yn
dt 2
dyn
+ a1
+ a0yn = 0
dt
* Đáp ứng ép yf là nghiệm của phương trình:
d2yf
dt 2
dyf
+ a1
+ a0yf = F(t)
(5.4)
(5.5)
dt
Cộng vế với vế của (5.3) và (5.4):
d2(yn + yf )
d(yn + yf )
+ a1
+ a0(yn + yf ) = F(t)
dt 2
dt
(5.5) kết hợp với (5.2) cho thấy nghiệm của phương trình (5.1) chính là y=yn+yf
5.2.1 Đáp ứng tự nhiên
Đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình (5.3)
yn có dạng hàm mũ: yn=Aest
(5.6)
Lấy đạo hàm (5.6), thay vào (5.10), ta được
As2est+Aa1sest+Aa0est=0
Aest(s2+a1s+a0)=0
Vì Aest không thể =0 nên
s2+a1s+a0=0
(5.7)
(5.8)
(5.7) được gọi là phương trình đặc trưng, có nghiệm là:
2
− a1 ± a1 − 4a0
s1,2
=
2
Ứng với mỗi trị của s ta có một đáp ứng tự nhiên:
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
3
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
yn1 = A 1es1t yn2 = A 2es2t
yn = yn1 + yn2 = A 1es1t + A 2es2t
(5.9)
Trở lại thí dụ 5.1, đáp ứng tự nhiên của mạch:
d2i2
di2
dt
+ 10
+ 16i2 = 0
dt 2
s2+10s+16=0
i2 = A1e-2t + A 2e-8t
⇒
s1=-2 ; s2=-8
Ô Các loại tần số tự nhiên
2
− a1 ± a1 − 4a0
2
a1 - 4a0>0 ⇒
s1,2
=
⇒
⇒
yn (t) = A1es1t + A 2es2t
yn (t) = A 1e(-α+ jβ)t + A 2e(-α− jβ)t
2
2
a1 -4a0<0
⇒
s1,2=-α±jβ
Dùng công thức EULER:
yn (t) = e-αt (B1cosβt + B2 sinβt)
ejθ=cosθ+jsinθ và e-jθ=cosθ-jsinθ
Trong đó B1 và B2 xác định theo A1 và A2
:
B1=A1+A2
B2=j(A1-A2)
2
a1 - 4a0=0
⇒
⇒
s1,2=k<0
⇒
⇒
yn = (A 1 + A 2t)ekt
a1=0 và a0≠0
s1,2=±jβ
yn(t) = A1cosβt + A2 sinβt
Các kết quả trên có thể tóm tắt trong bảng 5.1
Trường
hợp
Đ. kiện
Nghiệm của
p.t đặc trưng
yn(t)
Dạng sóng của
Tính chất của
các hệ số
yn(t)
yn(t)
Tắt dần không
dao động
2
s1t
yn (t) = A 1e + A 2es t
2
1
a1 -4a0>0 Nghiêm thực,
phân biệt, âm
2
y n (t) = e-αt (B1cosβt + B2 sin βt)
2
a1 -4a0<0 Phức liên hợp
Dao động
tắt dần
s1,2=-α±jβ
(α>0)
Kép, thực
s1,2=k<0
2
yn (t) = (A 1 + A 2t)ekt
yn(t) = A1cosβt + A2 sin βt
3
4
a1 -4a0=0
Tắt dần tới hạn
a1=0
a0≠0
Ao, liên hợp
s1,2=±jβ
Dao động biên
độ không đổi
Bảng 5.1
Thí dụ 5.2 Xác định đáp ứng tự nhiên vn trong mạch (H 5.3)
Phương trình nút A:
v − vg
1 dv
4 dt
+ i +
= 0
(1)
(2)
4
Phương trình vòng bên phải
di
dt
Ri +
= v
Thay i từ (1) vào (2)
⎡
⎤
⎡
⎤
⎞
⎠
⎦
1 dv
4 dt
⎝
d
1 dv
⎛
4 dt
⎝
⎛
⎞
⎟
− R
+ v − vg
+
−
+ v − vg = v
⎜
⎜
⎟
(3)
⎢
⎥
⎢
⎥
dt
⎠
⎣
⎦
⎣
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
4
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
Lấy đạo hàm (3) và đơn giản
dvg
d2v
dv
+(R+ 1) +(R+ 4)v = Rvg +
(4)
(5)
dt 2
dt
dt
Đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình:
d 2vn
dt 2
dvn
dt
+(R+ 1)
+(R+ 4)vn = 0
Phương trình đặc trưng và các nghiệm của nó:
s2 + (R + 1)s+ (R + 4)= 0
−(R+ 1)± (R+ 1)2 − 4(R+ 4)
s1,2
=
2
−(R+ 1)± R2 − 2R− 15)
s1,2 =
2
Kết quả ứng với vài giá trị cụ thể của điện trở R:
β R=6Ω, s1,2= -2, -5
β R=5Ω, s1,2= -3, -3
β R=1Ω, s1,2= -1± j2 ⇒
⇒
⇒
vn=A1e-2t+A2e-5t
vn=(A1+A2t)e-3t
vn=e-t(B1cos2t+B2sin2t)
Thí dụ 5.3
Xác định dòng i(t) trong mạch (H 5.4). Cho vg = 1 V là nguồn DC
Phương trình mạch:
di
dt
1
L
+ Ri +
idt = vg
∫
C
Lấy vi phân 2 vế , thay các trị số vào:
d 2i
di
dt C
1
L
+ R
di
+
i = 0
dt 2
d 2i
+ 3 + 2i = 0
dt 2
dt
Phương trình đặc trưng và các nghiệm :
Vậy
i(t)=in(t)=A1e-t+A2e-2t
s2+3s+2=0
⇒
s1,2=-1, -2
5.2.2 Đáp ứng ép
Ò Trường hợp tổng quát
Đáp ứng ép của một mạch bậc 2 phải thỏa phương trình (5.4). Có nhiều phương pháp
để xác định đáp ứng ép; ở đây ta dùng phương pháp dự đoán lời giải: Trong lúc giải phương
trình cho các mạch bậc 1, ta đã thấy đáp ứng ép thường có dạng của hàm kích thích, điều này
cũng đúng cho trường hợp mạch điện có bậc cao hơn, nghĩa là, nếu hàm kích thích là một
hằng số thì đáp ứng ép cũng là hằng số, nếu hàm kích thích là một hàm mũ thì đáp ứng ép
cũng là hàm mũ. . ..
Xét mạch thí dụ 5.1 với vg=16V
d 2i2
dt 2
di2
dt
+ 10
+ 16i2 = 32
(1)
______________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
YẾT
(H 5.5)
5
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
Đáp ứng ép i2f là hằng sô: i2f=A
(2)
Lấy đạo hàm (2) và thay vào pt (1):
16A=32 ⇒ A=2 ⇒ i2f=2
Ta có thể xác định i2f nhờ mạch ở trạng thái thường trực DC: (H 5.5)
i2f=16/8=2 A
i2 = i2n + i2f = A 1e-2t + A 2e-8t + 2
Và đáp ứng đầy đủ của mạch:
Bảng 5.2 cho kết quả đáp ứng ép ứng với các nguồn kích thích khác nhau
F(t)
yf(t)
Hằng số A
B1tn
Hằng số C
B0tn+ B1tn-1+. . . . . +Bn-1t+Bn
C eαt
B2eαt
B3sinβt, B4cosβt
B5tn eαt cosβt
B6tn eαt sinβt
A sinβt+ Bcosβt
(F0tn+ F1tn-1+. . . . . +Fn-1t+Fn) eαt cosβt+
(G0tn+ G1tn-1+. . . . . +Gn-1t+Gn) eαt sinβt
Bảng 5.2
Ò Đáp ứng ép khi kích thích ở tần số tự nhiên
Phương trình mạch điện có dạng
d 2y
dt 2
dy
dt
− (a+ b)
+ aby = eat
(5.10)
s2 − (a + b)s + ab = 0
y n = A 1eat + A 2ebt
⇒ s1=a và s2=b và
Đáp ứng ép yf=Aeat phải thỏa (5.10), thay vào ta được
0=eat (đây là biểu thức không thể chấp nhận được)
Nếu chọn yf=Ateat , lấy đạo hàm , thay vào (5.10):
Ateat(a2t+2a-(a+b)(at+1)+abt)= eat
Sau khi đơn giản:
A(a-b) eat= eat
Hệ thức đúng với mọi t nên:
1
A =
a − b
và nghiệm tổng quát của phương trình (5.10) là
teat
y = A 1eat + A 2ebt +
(5.11)
a− b
Trở lại thí dụ 5.1, cho vg có chứa tần số tự nhiên:
vg =6e-2t+32
d 2i2
dt 2
di2
dt
+ 10
+ 16i2 = 12e−2t + 64
(1)
(2)
i2n = A 1e-2t + A 2e-8t
Kích thích vg có số hạng trùng với i2n (e-2t) nên i2f xác định như sau:
i2f=Ate-2t+B
(3)
Lấy đạo hàm (3) và thay vào (1)
6Ae-2t+16B=12e-2t+64
⇒
A=2 & B=4
i2f=2te-2t+4
i2=i + i2f = A 1e-2t + A 2e-8t +2te-2t+4
2n
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
6
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
Ò Trường hợp kích thích có tần số trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng
Phương trình mạch điện có dạng:
d2y
dt 2
dy
− 2a
+ a2y = eat
(5.12)
dt
Phương trình đặc trưng
s2-2as+a2=0
⇒
s1=s2=a
yn=(A1+A2t)eat
a là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên yf xác định bởi:
yf=At2eat
Lấy đạo hàm yf và thay vào (5.12):
2Aeat=eat
⇒
A=1/2 ⇒ yf=(1/2)t2eat
y=yn+yf= (A1+A2t)eat+(1/2)t2eat
(5.13)
5.2.3 Đáp ứng đầy đủ
Đáp ứng đầy đủ của mạch điện bậc 2 là tổng của đáp ứng ép và đáp ứng tự nhiên,
trong đó có chứa 2 hằng số tích phân, được xác định bởi các điều kiện ban đầu, cụ thể là các
giá trị của y(t) và dy(t)/dt ở thời điểm t=0.
Thí dụ 5.4
Xác định v khi t>0 của mạch (H 5.6). Cho vg=5cos2000t (V) và mạch không tích trữ
năng lượng ban đầu.
v1 − vg
v1 v1 − v
dv1
dt
+
+
+ C1
= 0
(1)
(2)
R1
R2
R3
v1
dv
dt
+ C2
R2
= 0
Thay trị số vào (1) và (2) và sắp xếp lại:
dv1
dt
4v1 − v + 2103
= 2vg = 10cos2000t(3)
1
dv
dt
v1 = − 10-3
(4)
(H 5.6)
4
Thay (4) vào (3), sau khi đơn giản:
d2 v
dv
dt
+ 2.103
+ 2.106 v = −2.107 cos2000t
(5)
(6)
dt2
s2+2.103s+2.106=0 ⇒ s1,2=1000(-1±j)
vn=e-1000t(A1cos1000t+A2sin1000t)
vf=Acos2000t+Bsin2000t
(7)
(8)
Xác định A và B:
Lấy đạo hàm (8) thay vào (5):
(-2A+4B)cos2000t+(-4A-2B)sin2000t=-20cos2000t
Cân bằng các hệ số
-2A+4B=20 và -4A-2B=0
⇒ A=2 và B=-4
v=e-1000t(A1cos1000t+A2sin1000t) +2cos2000t-4sin2000t
Xác định A1 và A2: Thay t=0+ vào (4)
(9)
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
7
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
1
-3 dv(0+)
dv(0+)
v1(0+) = − 10
vì
v1(0+)=v1(0-)=0 ⇒
= 0
(10)
(11)
4
dt
dt
v(0+)=v(0-)=0
Thay t=0 vào (9) rồi dùng điều kiện (11)
v (0)=A1+2=0 ⇒ A1=-2
Lấy đạo hàm (9), thay t=0 và dùng điều kiện (10)
1000A2-1000A1-8000=0 ⇒ A2=6
Tóm lại:
v(t)=e-1000t(-2cos1000t+6sin1000t) +2cos2000t- 4sin2000t (V)
5.2.4 Điều kiện đầu và điều kiện cuối
Có thể nói các điều kiện ban đầu và điều kiện cuối của mạch bậc 2 không khác gì so
với mạch bậc 1. Tuy nhiên vì phải xác định 2 hằng số tích phân nên chúng ta cần phải có 2 giá
trị đầu; 2 giá trị này thường được xác định bởi y(0+) và dy(0+)/dt.
* y(0+) được xác định giống như ở chương 4, nghĩa là dựa vào tính chất hiệu thế 2 đầu
tụ hoặc dòng điện qua cuộn dây không thay đổi tức thời.
* dy(0+)/dt thường được xác định bởi dòng điện qua tụ và hiệu thế 2 đầu cuộn dây vì:
dvC
dt
diL
dt
iC = C
và vL = L
Thí dụ 5.5
dv0(0+ )
Cho mạch (H 5.7a), xác định các điều kiện đầu v0(0+) và
dt
(a)
(H 5.7)
(b)
v0(0+)=i0(0+)=0
(H 5.7b) là mạch tương đương ở t=0+
v0(0+)
i1(0+) =
= 0
R1
i0(0+)=0
iC(0+)=i(0+)=1A
dvC
dt
dvC
dt
1
iC = C
⇒
=
iC
C
1
dv
dt
dv
0 (0+) = C (0+) = iC(0+) =
dt
1
V/s
C
C
Thí dụ 5.6
di
Xác định i1(0+), i2(0+), 1 (0+), 2 (0+) (H 5.8 a)
dt dt
di
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
8
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
(a)
(H 5.8)
(b)
Xác định i1(0+), i2(0+)
Từ mạch tương đương ở t=0+ (H 5.8b)
A
i1(0+) =
và
i2(0+)=0
R1
di
dt
di
dt
Xác định 1 (0+), 2 (0+)
Viết phương trình vòng cho mạch khi t>0
1
i1dt + R1(i1 − i2) = A
(1)
(2)
∫
C
di2
dt
− R1(i1 − i2 )+ R2i2 + L
= 0
Từ (2)
di2
dt
1
=
[
R1i1 − (R1 + R2 )i2
]
L
⎡
⎤
di
dt
1
A
A
2 (0+) =
R1
− 0 =
⎢
⎣
⎥
L
R1
L
⎦
Đạo hàm theo t phương trình (1)
i1
C
di1
dt
di2
dt
+ R1
− R1
= 0
di1
dt
1
i1
C
di2
dt
⎡
⎤
=
−
+ R1
⎢
⎣
⎥
⎦
R1
⎡
⎤
di
dt
1
1 A
A
L
A
L
A
CR12
1 (0+) =
−
+ R1
=
−
⎢
⎥
⎦
R1 C R1
⎣
Thí dụ 5.7
Trở lại thí dụ 5.3 dùng điều kiện đầu để xác định A1 và A2 trong kết quả của
in(t)=A1e-t+A2e-2t
i(t)=in(t)=A1e-t+A2e-2t
(1)
Ở t=0 , cuộn dây tương đương với mạch hở,
i(0+)=0 A1+A2 = 0
Và tụ điện tương đương với mạch nối tắt
⇒
(2)
(3)
(4)
1
vC(0+) =
0idt = 0
∫
-∞
C
Ngoài ra
Ri(0+)=0
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
9
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
Thay (3) và (4) vào phương trình mạch:
vg
L
di
dt
di
dt
hay
L
(0+) = vg
(0+) =
= 1
Lấy đạo hàm (1) , thay các trị số vào:
di
dt
(0+) = −A 1 − 2A 2 = 1
(5)
Giải hệ thống (2) và (5):
A1=1 và A2=-1
Và
i(t)=e-t- e-2t
Thí dụ 5.8
Khóa K trong mạch (H 5.9a) đóng khá lâu để mạch đạt trạng thái thường trực. Mở
khóa K tại thời điểm t=0, Tính vK, hiệu thế ngang qua khóa K tại t=0+
(a)
(H 5.9)
(b)
10
2
i1(0−) = iL (0−) =
= 5A
Viết phương trình cho mạch khi t>0 (H 5.9b)
3
iL = Ae−
diL
dt
t
2
2
+ 3iL = 0
⇒
3
2
t
iL = 5e−
iL(0+) = iL(0-) = 5
⇒
A=5 ⇒
3
−
khi
Ở
t > 0
t=0+
vK = 10+ R3iL = 10+ 15e 2t
vK=10+15=25V
Kết quả cho thấy: Do sự có mặt của cuộn dây trong mạch nên ngay khi mở khóa K, một hiệu
thế rất lớn phát sinh giữa 2 đầu khóa K, có thể tạo ra tia lửa điện. Để giảm hiệu thế này ta phải
mắc song song với cuộn dây một điện trở đủ nhỏ, trong thực tế, người ta thường mắc một
Diod.
5.3 TÍNH CHẤT VÀ Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA CÁC ĐÁP
ỨNG
5.3.1 Đáp ứng tự nhiên
Đáp ứng tự nhiên là nghiệm của phương trình vi phân bậc 2 thuần nhất, tương ứng với
trường hợp không có tín hiệu vào (nguồn ngoài). Dạng của đáp ứng tự nhiên tùy thuộc vào
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
10
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
nghiệm của phương trình đặc trưng, tức tùy thuộc các thông số của mạch. Tính chất của đáp
ứng tự nhiên xác định dễ dàng nhờ vị trí của nghiệm của phương trình đặc trưng trên mặt
phẳng phức.
Gọi α và β là 2 số thực, cho biết khoảng cách từ nghiệm lần lượt đến trục ảo và trục
thực.
Ta có các trường hợp sau:
Ò Phương trình đặc trưng có nghiệm thực, phân biệt s1,2= α1, α2
Với trị thực của α, đáp ứng có dạng mũ (H 5.10)
Tùy theo α>0, α=0 hay α<0 mà dạng sóng của đáp ứng là đường cong tăng theo t, đường
thẳng hay đường cong giảm theo t.
(H 5.10)
Ò Phương trình đặc trưng có nghiệm phức s1,2=-α ±jβ
- Nếu đôi nghiệm phức nằm ở 1/2 trái của mặt phẳng (α và β ≠ 0), đáp ứng là dao động tắt
dần (H 5.11)
- Nếu là nghiệm ảo (α=0 và β ≠ 0), đáp ứng là một dao động hình sin (H 5.11)
- Nếu đôi nghiệm phức nằm ở 1/2 phải của mặt phẳng (α và β ≠ 0), đáp ứng là dao động biên
độ tăng dần (H 5.11)
jω
σ
(H 5.11)
Ò Phương trình đặc trưng có nghiệm kép (H 5.13)
- Nghiệm kép trên trục thực : s1=s2= -α yn = (A 1 + A 2t)e-αt , đáp ứng có giá trị tắt dần tới
hạn
- Nghiệm kép trên trục ảo s1=s2=+jβ hoặc -jβ yn=k1cos(βt+Φ1) + k2tcos(βt+Φ2), đáp ứng là
dao động biên độ tăng dần
jω
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
11
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
+β
-α
σ
-β
(H 5.13)
Thí dụ 5.9
Khảo sát phương trình đặc trưng của mạch RLC nối tiếp.
Khi R thay đổi vẽ quỹ tích nghiệm s trên mặt phẳng phức
di
dt
1
L
+ Ri +
idt = v(t)
(1)
∫
C
Lấy đạo hàm 2 vế
d2i R di
1
1 dv
L dt
+
+
i =
(2)
(3)
dt 2 L dt LC
Phương trình đặc trưng
(H 5.14)
R
1
s2 + s+
= 0
L
LC
1
R
Đặt
α =
và ω0 =
, (3) trở thành
2L
LC
2
s2 + 2αs+ ω0 = 0
(4)
* α=0 (R=0) s=±jω0
Đáp ứng tự nhiên là dao động hình sin có biên độ không đổi, R=0 có nghĩa là công suất không
tiêu tán thành nhiệt nên năng lượng tích trữ ban đầu không mất đi mà được chuyển hóa và
trao đổi qua lại giữa tụ điện (điện trường) và cuộn dây (từ trường).
2
* 0<α<ω0
yn(t)=ke-αtcos(ωdt+Φ)
s = −α ± j ω0 − α2 = −α ± jωd
2
Khoảng cách từ nghiệm đến gốc O của mặt phẳng phức là ω0 = α2 + ωd , khi α thay đổi,
quỹ tích nghiệm là vòng tròn tâm O, bán kính ω0 (H 5.14). Đáp ứng tự nhiên là dao động hình
sin có biên độ giảm dần theo dạng hàm mũ (do năng lượng mất đi dưới dạng nhiệt trên điện
trở R).
R
α =
được gọi là thừa số tắt dần.
2L
1
2π
ωd
ωd =
− α2 được gọi là tần số góc giã và
được gọi là chu kỳ giã của dao động
Td =
LC
tắt dần.
* α=ω0 s1=s2=-α yn(t)=(k1+k2t)e-αt
Đáp ứng có giá trị tắt dần tới hạn hay phi tuần hoàn.
* α>ω0 s1,2=a<0 (2 nghiệm âm phân biệt trên trục thực)
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
12
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
Đáp ứng tự nhiên tắt dần không dao động, nghĩa là R có trị khá lớn đủ để ngăn chận sự trao
đổi năng lượng giữa L và C.
1
Tóm lại, khi α<ω0 hay R< RC = 2
Mạch dao động hoặc tắt dần
LC
RC được gọi là điện trở tới hạn
α
ω0
Đặt Ψ=
Tỉ số giảm dao động
s2+2Ψω0s+ω0 =0
2
* Ψ=0, Dao động thuần túy
* 0<Ψ<1, Dao động tắt dần
* Ψ>1, Tắt dần không dao động
* R<0 (hay Ψ, α<0), phương trình đặc trưng
có nghiệm nằm ở 1/2 mặt phẳng phải và đáp
ứng tăng không giới hạn, ta nói mạch bất
ổn. Điện trở âm là một nguồn năng lượng,
có được do tác dụng của một nguồn phụ
thuộc lên một điện trở dương. Khi mạch thụ
động có chứa nguồn năng lượng, đáp ứng tự
(H 5.14)
nhiên có thể có giá trị tăng mãi theo thời gian và tạo ra một sự bất ổn.
5.3.2 Đáp ứng ép
Đáp ứng ép của một mạch chính là nghiệm riêng của phương trình có vế 2, nó tùy
thuộc cả tín hiệu vào và các thành phần trong mạch điện.
Một trường hợp đặc biệt ảnh hưởng đến đáp ứng ép là khi một số hạng của F(t) có
cùng dạng của yn(t). Lúc đó yf(t) được nhân với t. Về phương diện vật lý, điều này có nghĩa là
mạch buộc phải đáp ứng như khi không có tín hiệu vào hay nói cách khác mạch bị kích thích
theo một trong những cách vận chuyển tự nhiên của nó. Nói nôm na là mạch đáp ứng nhạy
hơn bình thường và điều này được biểu thị một cách toán học bằng cách nhân với thừa số t.
Lưu ý là năng lượng tích trữ ban đầu chỉ ảnh hưởng đến độ lớn (các hằng số tích phân)
chứ không ảnh hưởng đến dạng của yn(t). Mặt khác, các hằng số tích phân cũng tùy thuộc vào
nguồn kích thích và các thành phần trong mạch. Chính vì những lý do này mà người ta chỉ
xác định các hằng số tích phân sau khi có kết quả cuối cùng (đáp ứng đầy đủ). Tóm lại, khi
tính toán đáp ứng của một mạch, các hằng số tích phân được xác định dựa trên đáp ứng đầy
đủ y(t)=yn(t)+yf(t) và các điều kiện ban đầu.
Ngoài ra, xét đến ảnh hưởng của đáp ứng của mạch theo diễn tiến thời gian, người ta
chia đáp ứng của một mạch ra 2 thành phần: Thành phần chuyển tiếp (giao thời, transient
time) và thành phần thường trực (steady state).
- Thành phần chuyển tiếp yt(t): triệt tiêu sau một khoảng thời gian.
- Thành phần thường trực yss(t): còn lại sau khi thành phần chuyển tiếp triệt tiêu.
Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều ở 1/2 mặt phẳng trái hở và đáp ứng
ép không triệt tiêu khi t →∞ thì
yt(t) = yn(t)
yss(t) = yf(t)
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
13
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
5.4 ĐÁP ỨNG ÉP ĐỐI VỚI est
Trong phân giải mạch điện, một trường hợp đặc biệt cần quan tâm, đó là những mạch
với tín hiệu vào có dạng hàm mũ est, s là hằng số độc lập với t. Chúng ta sẽ xét ngay dưới đây
trường hợp này
Với x(t) và y(t) lần lượt là kích thích và đáp ứng, phương trình mạch điện có dạng
tổng quát
dn y
dtn
dn−1y
dtn−1
dy
dt
dmx
dtm
dm−1
x
dx
dt
an
+ an−1
+ ............ + a1
+ a0y = bm
+ bm−1
+ ........... + b1
+ b0x (5.14)
dtm−1
Cho x(t) = est ⇒ yf(t)= H(s)est
Bằng cách lấy đạo hàm yf(t) thay vào (5.14) ta xác định được H(s)
bmsm + .....+ b1s+ b0
H(s) =
(5.15)
ansn + .....+ a1s+ a0
H(s) được gọi là hàm số mạch, giữ vai trò rất quan trọng trong bài toán giải mạch.
Quan sát (5.15) ta sẽ thấy H(s) là tỉ số của 2 đa thức theo s có bậc là bậc của đạo hàm
và các hệ số chính là các hệ số tương ứng của 2 vế của phương trình mạch điện. Vì vậy, khi
có phương trình mạch điện ta có thể viết ngay ra hàm số mạch.
Thí dụ 5.9 Tìm đáp ứng vo(t) của mạch (H 5.15), cho i(t)=e-t.
Phương trình mạch điện
dvo (t)
dt
1
C
+
vo (t) = i(t)
R
Hàm số mạch H(s)
1
R
H(s) =
=
sC+ 1/R 1+ sRC
Đáp ứng ép đối với i(t)=e-t là
(H 5.15)
R
R
vof (t) =
est =
e−t
1+ sRC
1- RC
Thông số s trong hàm số mạch có thể là số thực hay phức. Trong thực tế tín hiệu vào
thường là một hàm thực theo t. Tuy nhiên tính đáp ứng đối với một hàm phức cũng rất hữu
ích vì từ đó chúng ta có thể suy ra đáp ứng đối với tín hiệu là hàm thực từ định lý sau đây:
" Nếu yf(t) là đáp ứng đối với tín hiệu phức x(t), đáp ứng đối với phần thực của x(t)
chính là phần thực của yf(t) và đáp ứng đối với phần ảo của x(t) là phần ảo của yf(t)"
* Trở lại thí dụ 5.9. Xét trường hợp kích thích có dạng x(t)= cosωt
Từ công thức EULER ejωt=cosωt +jsinωt, ta thấy cosωt là phần thực của ejωt
Vậy trước tiên ta tìm đáp ứng ép đối với ejωt
R
vof (t) =
ejωt
1+ jωRC
Dùng công thức EULER viết lại vof:
R
vof =
(1− jωRC)(cosωt + jsinωt)
1+ (ωRC)2
Phần thực của đáp ứng ép vof(t)
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
14
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
R
Re
{
vof (t)
}
=
(cosωt + ωRCsinωt)
1+ (ωRC)2
chính là đáp ứng ép của mạch đối với cosωt (vì cosωt =Re[ejωt ] là phần thực của ejωt )
BÀI TẬP
XÒW
5.1 Cho mạch điện (H P5.1), khóa K đóng cho tới khi mạch đạt trạng thái thường trực. Mở
khóa K, coi thời điểm này là t=0. Xác định dòng iL lúc t>0.
5.2 Cho mạch điện (H P5.2), khóa K đóng cho tới khi mạch đạt trạng thái thường trực. Mở
khóa K, coi thời điểm này là t=0.
a. Tìm biểu thức của vK, hiệu thế ngang qua khóa K ở t=0+.
di
dt
dvK
dt
b. Giả sử i(0+)=1 A và
(0+) = −1 A/s . Xác định
(0+)
(H P5.1)
(H P5.2)
5.3 Mạch (H P5.3). Tìm v khi t>0.
5.4 Cho mạch điện (H P5.4), khóa K đóng cho tới khi mạch đạt trạng thái thường trực. Mở
khóa K, coi thời điểm này là t=0. Tìm v khi t>0.
(H P5.3)
(H P5.4)
5.5 Cho mạch điện (H P5.5). Tìm v khi t>0 trong 2 trường hợp:
a. C=1/5 F
b. C=1/10 F
5.6 Cho mạch điện (H P5.6). Tìm v và i khi t>0
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
15
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
(H P5.5)
(H P5.6)
5.7 Mạch (H P5.7) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K ở vị trí 1. Chuyển K sang vị
trí 2, thời điểm t=0. Xác định i khi t>0
5.8 Mạch (H P5.8) đạt trạng thái thường trực ở t=0. Xác định v khi t>0
(H P5.7)
(H P5.8)
5.9 Mạch (H P5.9) đạt trạng thái thường trực ở t=0- Với khóa K ở 1. Tại t=0 bậc K sang vị trí
2. Xác định i khi t>0
5.10 Mạch (H P5.10) đạt trạng thái thường trực ở t=0- Xác định i khi t>0
(H P5.9)
(H P5.10)
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
16
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
Giải
Ở t>0, mạch chỉ còn cuộn dây và tụ điện mắc song song và đã tích trữ năng lượng.
Phương trình vòng cho mạch
di
dt
1
L
+
idt = 0
(1)
∫
C
Lấy đạo hàm 2 vế phương trình (1)
d2i
1
L
+
i = 0
dt 2
C
Thay giá trị của L và C vào
d2i
+ 105i = 0
(2)
(3)
dt 2
Phương trình đặc trưng
s2 + 105 = 0
Cho nghiệm
s1,2 = ± j100 10 =± j316
Vậy
i(t) = Acos316t + Bsin316t (4)
Xác định A và B
Từ mạch tương đương ở t = 0- (H P5.1a)
i(0-) = 10 (A) và v(0-) = 0
Từ kết quả (4)
i(0+) = i(0-) = A = 10
Ta lại có
di(t)
v(t) = L
dt
di
dt
⇒
v(0+) = v(0-) = L (0-) = 0
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
17
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
di
dt
di
dt
Hay
(0+) =
(0-) = 0
(5)
Lấy đạo hàm (4), cho t=0 và dùng kết quả (5)
di(0)
dt
B = 0
= 316 B = 0
Tóm lại
i(t) = 10cos316t (A)
5.2 Cho mạch điện (H P5.2), khóa K đóng cho tới khi mạch đạt trạng thái thường trực. Mở
khóa K, coi thời điểm này là t=0.
c. Tìm biểu thức của vK, hiệu thế ngang qua khóa K ở t=0+.
di
dt
dvK
dt
d. Giả sử i(0+)=1 A và
(0+) = −1 A/s . Xác định
(0+)
(H P5.2)
Giải
a. Mạch đạt trạng thái thường trực với khóa K đóng
V
i(0-) =
R2
Tại t=0+, tụ điện tương đương mạch nối tắt nên hiệu thế vK chính là hiệu thế 2 đầu R1
V
vK = R1. i(0+) = R1. i(0-) = R1
.
R2
V
R2
vK = R1
.
dvK
dt
b. Xác định
(0+)
Hiệu thế vK khi t>0 xác định bởi
1
vK = R1. i +
idt
∫
C
Lấy đạo hàm 2 vế
dvK
dt
di
1
= R
1 dt
+
i
C
di
dt
Tại t = 0+, thay i(0+)=1 A và
(0+) = −1 A/s vào phương trình
dv
dt
di
1
1
K (0+) = R
(0+)+ i(0+) = R1.(−1) + (1)
1 dt
C
C
Tóm lại
dv
dt
1
C
K (0+) = − R1 A/s
5.3 Mạch (H P5.3). Tìm v khi t>0.
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
18
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
(H P5.3)
Giải
Dạng sóng của nguồn dòng điện 100u(-t) được vẽ ở (H P5.3a) và mạch tương đương với (H
P5.3) được vẽ ở (H P5.3b)
(H P5.3a)
(H P5.3b)
- Khi t>0, khóa K hở, mạch không chứa nguồn ngoài, phương trình mạch điện
di
dt
1
L
+ Ri +
idt = 0
(1)
∫
C
Lấy đạo hàm (1) và thay trị số vào
d2i
3 di
dt
7
+ 4.10
+ 2.10 i = 0
(2)
(3)
dt 2
Phương trình đặc trưng và nghiệm
s2 + 4.103 s + 2.107 = 0
s1,2 = -2000 ± j4000
Mạch không chứa nguồn ngoài nên đáp ứng chỉ là thành phần tự nhiên vn
v = vn = e-2000t(Acos4000t + Bsin4000t)
Xác định A và B
(4)
Từ mạch tương đương ở t = 0- [(H P5.3) với tụ hở và cuộn dây nối tắt]
v(0-) = 40Ω.100mA = 4 V và i(0-) = 100 mA = 0,1 A
Từ kết quả (4)
v(0+) = v(0-) = A = 4
Ta lại có
dv(t)
dt
i(t) = i:(t) = −C
=- 5.10-6[-2.103e-2000t(Acos4.103t+Bsin4.103t)+ e-2000t(-4.103Asin4.103t+4.103Bcos4.103t)]
Tại
t=0
i(0+) = i(0-) = 0,1 = - 5.10-6(-2.103A + 4.103B)
⇒
-A+2B = - 10
Với A = 4 ta được
Tóm lại
B=-3
v(t) = e-2000t(4cos4000t - 3sin4000t) (V)
5.4 Cho mạch điện (H P5.4), khóa K đóng cho tới khi mạch đạt trạng thái thường trực. Mở
khóa K, coi thời điểm này là t=0. Tìm v khi t>0.
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
19
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
(H P5.4)
Giải
(H P5.4a)
(H P5.4b)
Phương trình cho mạch tương đương khi t>0 (H P5.4a)
di
+ 4i + 4 idt = 12
(1)
∫
dt
Lấy đạo hàm (1)
d2i
di
+ 4 + 4i = 0
dt
(2)
dt 2
Phương trình đặc trưng và nghiệm
s2 + 4 s + 4 = 0
(3)
s1,2 = -2 (Nghiệm kép)
v(t) có dạng
v(t) = (At+B)e-2t + 12 (vf=12 V)
(4)
Xác định A và B
Từ mạch tương đương ở t = 0- (H P5.4b)
i(0-) = 12V/4Ω = 3 A và
Từ kết quả (4)
v(0+) = v(0-) = B+12 = 0 ⇒ B=-12
Mặt khác
v(0-) = 0
dv(t)
dt
1
i(t) = C
= [Ae−2t + (At + B)(−2)e−2t ]
4
1
i(0+) = i(0-) = 3 = (A − 2B)
4
Với B = -12 ta được A = -12
Tóm lại
v(t)= 12- 12(1+t)e-2t (V)
5.5 Cho mạch điện (H P5.5). Tìm v khi t>0 trong 2 trường hợp:
c. C=1/5 F
d. C=1/10 F
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
20
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc
hai -
(H P5.5)
Giải
Nguồn u(t) tương đương với khóa K đóng lúc t=0. Vậy đây là mạch bậc 2 không tích trữ
năng lượng ban đầu nhưng có nguồn ngoài.
Đáp ứng v(t) của mạch gồm vn và vf.
β Xác định vf
Lúc mạch đạt trạng thái thường trực, cuộn dây tương đương mạch nối tắt và tụ điện tương
đương mạch hở nên vf=6Ω.4A = 24 V
β Xác định vn
Phương trình xác định vn
di
dt
1
L
+ Ri +
idt = 0
(1)
(2)
∫
C
Thay L và R vào và lấy đạo hàm
d2i
di
1
+ 6
+
i = 0
dt 2
dt
C
κ C=(1/5) F
Phương trình (2) thành
d2i
di
+ 6 + 5i = 0
dt
(3)
dt 2
Phương trình đặc trưng và nghiệm
s2 + 6 s + 5 = 0⇒
s1,2 = - 1 & - 5
vn = Ae-t + Be-5t
v(t) = vn + vf = Ae-t + Be-5t + 24
t = 0, v(0) = 0 ⇒ A + B + 24= 0
(4)
(5)
Tại
Tại
t = 0-, dòng qua cuộn dây là 0, nên lúc t = 0+, dòng này cũng bằng 0, do đó dòng qua
tụ là 4A (nguồn dòng)
dv
iC(0+) = C (0+) = 4
dt
dv
dt
4
⇒
(0+) =
(6)
C
Lấy đạo hàm kết quả (4) ta được
dv(t)
dt
−5t
= −Ae−t − 5Be
dv
dt
(0+) = −A − 5B
(7)
(8)
(6) và (7) cho
4
-A - 5B = = 20
C
Giải hệ (4) và (8)
A = - 25 và B = 1
Tóm lại
v(t) = - 25e-t + e-5t + 24 (V)
κ C=(1/10) F
Phương trình (2) thành
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH
LÝ THUYẾT
Tải về để xem bản đầy đủ
27 trang
18060
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết mạch điện - Chương 5: Mạch điện bậc hai", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_ly_thuyet_mach_dien_chuong_5_mach_dien_bac_hai.pdf
