Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân bội ba

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 4: Tích phân bội ba

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)

[email protected].vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba

0.2 – Tọa độ trụ

0.3 – Tọa độ cầu

0.4 – Ứng dụng hình học

0.5 – Ứng dụng cơ học

I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

E

xác định trên vật thể đóng, bị chặn

f  f (x, y, z)

E₁,E₂,..., E_n.

Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ:

Thể tích tương ứng mỗi khối V (E₁),V (E₂),...,V (E_n).

M_i(x_i, y_i, z_i).

E

Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm

i

n

Lập tổng Riemann:

I  f (M )V (E )



n

i

i1

I  I

_n, không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm M_i

lim

n

I  f (x, y, z)dxdydz



E

được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E.

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tích phân bội ba

1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc

thì khả tích trên miền này.

V  dxdydz

2)



E

3)   f (x, y, z)dxdydz  f (x, y, z)dxdydz

 

E

4) ( f  g)dxdydz  f dxdydz  gdxdydz

  

E

5) Nếu E được chia làm hai khối E₁và E₂không dẫm lên nhau:

fdxdydz  fdxdydz  fdxdydz

 



E

E₁

E₂

6) (x, y, z) E, f (x, y, z)  g(x, y, z)  f  g

 

E

I  f (x, y, z)dxdydz

Định lý (Fubini)



E

z  z₂(x, y)

Phân tích khối E:

Chọn mặt chiếu là x0y.

Mặt phía dưới:

Mặt phía trên:

z  z₁(x, y)

z  z₂(x, y)

Pr_0xyE  D

Hình chiếu:

z  z₁(x, y)

I  f (x, y, z)dxdydz



E

z₂(x,y)







f (x, y, z)dz dxdy

 





D z₁(x,y)





Hình chiếu: D

Ví dụ

Tính tích phân bội ba

trong đó E là vật thể giới hạn bởi

I  (x  z)dxdydz



E

x² y²1, z  2  x² y², z  0

Hình chiếu của E xuống 0xy:

D : x² y²1

z₂(x, y)  2  x² y²

Mặt phía trên:

z



0

Mặt phía dưới:

2x²y²







I 

(x  z)dz dxdy







2

0

_{x y 1}







2x²y²







²



z

I 

xz 

dxdy



x²y²1

2

 ₀

(2  x² y )



^{2 2}

x(2  x² y²) 

dxdy









x²y²1

2



(2  x² y²)²

Đổi sang tọa độ cực.

I 

dxdy



x²y²1

2

2  r²

I  ^2d¹

r dr





7

6



 

2

0

Ví dụ

Tính tích phân bội ba

y 1 x, z 1 x²

trong đó E là vật thể giới hạn bởi

I  zdxdydz



E

z



0

và các mặt phẳng tọa độ, (phần

)

Hình chiếu của E xuống 0xy:

Tam giác OAB

z₂(x, y) 1 x²

Mặt phía trên:

Mặt phía dưới:

z



0

1x²





B

I 

zdz dxdy

 





OAB 0





A

1x²





I 

zdz dxdy

 





OAB 0





1x²





z²





dxdy

B









2

^OAB

O

0

2

1 x²





I 

dxdy



2

OAB

2

1 x²

I  ¹dx^1x

dy





11

60



 

2

0

Ví dụ

Tính tích phân

trong đó E là vật thể giới hạn bởi

I  (2x  3y)dxdydz



E

y  x, z 1 y, x  0, z  0.

Mặt phía trên:

Mặt phía dưới:

z 1 y

z



0

Hình chiếu của E xuống 0xy:

^1y



I 

2x  3y dz dxdy





 







D 0





^1y

I  (2x  3y)z dxdy



0

_D



I  2x  3y (1 y) dxdy











D

1

I  ¹dx 2x  3y (1 y) dy









 

0

x

11

60

I 

Ví dụ

I  (z 1)dxdydz



Tính tích phân

trong đó E là vật thể giới hạn bởi

E

x  y², z  x, z  0, x 1.

Mặt phía trên:

Mặt phía dưới:

z



x

z  0

Hình chiếu của E xuống 0xy:

^x







I  (z 1)dz dxdy

 



D 0













^x

2



z



I 

 z dxdy







_D 2



 ₀



2









x

 x dxdy





2

D



2

1









x

I  dy

 

 x dx



y²

2

1



38

35

I 

II. Toạ độ trụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.

(r,, z)

M được xác định duy nhất bởi bộ

z

(r,, z)

được gọi là tọa độ trụ của điểm M.

M (x, y, z) 

Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang

tọa độ trụ:

x  r cos

y  r sin

z  z







z



y





x_r^'x_^'x_z^'

J  y_r^'y_^'y_z^'

z_r^'z_^'z_z^'

r

x

M₁(x, y,0)



r

I  f (x, y, z)dxdydz



Đổi biến sang tọa độ trụ.

E

x  r cos

y  r sin

z  z









z  z₁(r,)

Mặt phía dưới:



z  z (r,)

Mặt phía trên:

z  z₂(r,)

2

Hình chiếu:

D

r,

Xác định cận

của D:

  



1

2

z  z₁(r,)

D :



r  r  r₂

 ¹

₂

r₂

z₂(r,)

I  d dr

  

f (r cos,rsin, z)r dz

₁

r

z₁(r,)

1

Ví dụ

I  x² y²dxdydz

Tính tích phân

trong đó E là vật thể giới hạn bởi



E

z  4, z 1 x² y², x² y²1.

z



4

Mặt phía trên:

Mặt phía dưới:

z



1



r

²

D : x² y²1

Hình chiếu xuống 0xy:

0    2







D :

0  r 1

4

I  ^2d¹dr r r dz

  

1r²

0

2

1

 ^2d¹r²(3 r²) dr

4









12

I  d dr r²z

 







1r²





0

5

Ví dụ

I  zdxdydz



Tính tích phân

trong đó E là vật thể giới hạn bởi

E

z  x² y², z  2  x² y², x² y²1.

z



2



r

²

z



r

²

Mặt phía trên:

Mặt phía dưới:

Hình chiếu của E xuống 0xy:

D : x² y²1

Cận của D:

0   2

0  r 1







D :

2r²

z²

I  ^2d¹dr z r dz

2

1

 d r

 

dr



3



  

r²

2

0

r²

Ví dụ

I  x² z²dxdydz

2y  x² z², y  2.

Tính tích phân

trong đó E:







E

Chiếu xuống x0z

y  2

Mặt trên:

r²

y 

Mặt dưới:

2

D

:

x

²



z

²



4

Hình chiếu:

y

2

I  ^2d²dr r²r dy

  

r²/2

0

II. Toạ độ cầu

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.

(,, )

z

M được xác định duy nhất bởi bộ

M (x, y, z)(,, )

được gọi là tọa độ cầu của điểm M.

Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:





x   sin cos

y   sin sin

z   cos







z   cos





y



x_^'x_^'x_^'

r   sin

J  y_^'y_^'y_^'

x

| J | ²sin

M (x,y,0)

1

z_^'z_^'z_^'

II. Toạ độ cầu

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi:

  







1

2

   

1

2



₁   ₂



I  f (x, y, z)dxdydz



E

₂

₂

₂

 d d f ( sin cos, sin sin, cos) ²sin d

  

₁

₁

₁

Chú ý:

0   

0    2 or     

0    