Một số không gian xác suất trên R
TẠP CHÍ KHOA HỌC
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 22 - 29
MỘT SỐ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TRÊN
Phạm Thị Thái, Đoàn Thị Chuyên, Đặng Kim Phƣơng3
Trường Đại học Tây Bắc
Tóm tắt: Bài báo này đưa ra một số không gian xác suất và từ đó xây dựng một số biến ngẫu nhiên trên
không gian xác suất nói trên. Ngoài ra, bài báo cũng xây dựng một số không gian xác suất trên tập số thực cảm
sinh bởi các không gian xác suất đã xây dựng. Cuối cùng, một số ví dụ được đưa ra để minh họa cho việc tính kì
vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất đã đề cập đến.
Từ khóa: - đại số Borel, biến ngẫu nhiên, độ đo xác suất, không gian xác suất, kì vọng, phương sai.
1. Mở đầu
Trong toán học, không gian xác suất là nền tảng của lý thuyết xác suất hiện đại (cả trong
lý thuyết xác suất cổ điển). Trong lịch sử phát triển của lý thuyết xác suất cổ điển, khái niệm
xác suất của biến cố được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau, tuy nhiên có thể thấy những
định nghĩa đó đều không nói lên được bản chất toán học của vấn đề. Ngày nay, lý thuyết xác
suất được phát triển dựa trên phương pháp tiên đề và lý thuyết độ đo. Điều này đã làm cho lý
thuyết xác suất thực sự là một khoa học toán học. Bài báo này xây dựng một số ví dụ minh
họa cho một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất hiện đại. Đó là không gian xác
suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫu
nhiên trên không gian xác suất tổng quát. Tất cả những vấn đề nêu trên được xây dựng dựa
vào lý thuyết chặt chẽ của độ đo, tích phân Lebesgue,…
Bài báo được trình bày theo bố cục như sau. Trước hết, dựa vào các tài liệu [1], [2] và
[3] trình bày các khái niệm cơ bản cần dùng trong lý thuyết xác suất tổng quát như không gian
xác suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫu
nhiên ở phần đầu mỗi mục. Tiếp sau đó, trong phần cuối mỗi mục, một số ví dụ minh họa cho
những khái niệm đã nêu được xây dựng với tiêu chí là đơn giản, tinh giản và chặt chẽ, làm
phong phú thêm các khái niệm được đưa ra.
2. Không gian xác suất
2.1. Một số khái niệm
Định nghĩa 2.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Một họ
các tập con của X được gọi là
một
- đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:
a) X
b) Nếu A thì CA
c) Nếu
A
thì
n
n
3 Ngày nhận bài: 26/2/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 14/4/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017
Liên lạc: Phạm Thị Thái, e - mail: [email protected]
22
Nhận xét 2.2. Có thể thay một cách tương đương điều kiện c) bởi điều kiện:
c’) Nếu
thì
A
n
n
Định nghĩa 2.3. Một hàm tập hợp
xác định trên
thỏa mãn các điều kiện sau:
với mọi A
- đại số các tập con của tập hợp
X được gọi là một độ đo trong X nếu
a)
b)
c)
0 A
0;
là
- cộng tính, tức là với mọi A , A ,..., A ,... là dãy tập con rời nhau thì
1
2
n
A
n
Hơn nữa,
là một độ đo xác suất nếu
X 1.
Định nghĩa 2.4. Gọi bộ ba
là không gian xác suất, ở đó
là
- đại số trên
X,
X và
là hàm xác suất.
Ví dụ 2.5. Xét phép thử gieo con xúc xắc một lần. Gọi s là số chấm xuất hiện ở mặt trên
là độ đo xác suất trên X. Khi đó, X là không gian mẫu,
là không gian biến cố và
con xúc xắc khi gieo. Khi đó không gian mẫu
Xét
là họ tất cả các
X 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
tập con của X (bao gồm 26 phần tử) thì
biến cố. Tiếp theo, xác định hàm xác suất
là một
- đại số trên X. Vậy
là không gian
trên X như sau. Với mỗi phần tử của X, có định
1
nghĩa s , s 1,6. Từ công thức này, có thể xác định được tất cả các biến cố của
6
Chẳng hạn xác suất của biến cố số chấm chẵn
ta thấy ngay
E 2, 4, 6 = 2 4 6
3
E . Vậy X, là một không gian xác suất.
6
Định nghĩa 2.6. Giả sử , là hai độ đo trên một
- đại số
trên X. Khi đó độ đo
liên tục tuyệt đối đối với độ đo nếu với mọi E 0 thì E 0. Kí hiệu
là
.
2.2. Một số không gian xác suất trên
Ví dụ 2.7. Đặt X 0,1 . Kí hiệu là
- đại số trên X sinh bởi các tập con mở của X
(khi đó
các biểu diễn sau đây:
i) Với mọi a,b 0, 1 thì:
cũng là
- đại số trên X sinh bởi các tập con đóng của X). Mặt khác, có thể thấy
23
1
a, b =
2 b a
ii) =
Bởi vì mọi tập mở trên
cùng với biểu diễn trên, cũng là
1 2
đều là hợp không quá đếm được của các khoảng mở nên
- đại số trên X sinh bởi họ các khoảng nửa đóng của X.
1
3
2
3
1
1 2
;
; 0,
,1 ;
Như vậy, các tập như
đều thuộc
Hơn nữa có
,
;
;...
3 3
3
3 3
thể thấy
0, a ,a 0, 1 . Thật vậy, chẳng hạn với họ
cũng được sinh bởi họ các tập
0, a , a 0, 1
hoặc bởi họ
a , a 0, 1 . Khi đó với mọi
khoảng đóng
để không mất tính tổng quát coi
Sẽ có:
a,b 0, 1 .
a, b , a,b 0, 1 ,
a, b = X \ 0,a b,1 .
Mặt khác vì 0, b nên X \ 0, b = b,1 và do đó a, b Từ đó suy ra
điều phải chứng minh.
Xác định hàm xác suất
([2]) của E. Rõ ràng mỗi tập thuộc
là hợp của nhiều nhất là đếm được các khoảng mở, hơn nữa mỗi khoảng mở đều là đo được
trên X như sau. Với mỗi E đặt
là độ đo Lebesgue
E
đều đo được Lebesgue bởi mỗi tập con mở trên X đều
X 0, 1 1.
Lebesgue. Hơn nữa
Như vậy
là độ đo xác suất trên X. Chẳng hạn ta
có độ đo (xác suất) của một số tập con (biến cố) sau:
1 2 1
1
2
3
2
1
1 2
,
= ; 0,
,1 ;
=0;
;
=0;...
3 3
3
3
3
3
3 3
Vậy
là một không gian xác suất.
X,
1
2j
j
X
.
Ví dụ 2.8. Đặt
Xét - đại số trên X cho bởi
gồm tất cả các tập con
của X. Xác định hàm xác suất
trên X như sau. Với mọi tập E đặt:
1
E
,
2k
kI
1
2k
ở đó I là tập bao gồm các chỉ số k mà
E. Rõ ràng khi đó
là độ đo xác suất bởi vì
1
X
1
k
2
k
Vậy X, là một không gian xác suất.
24
Nhận xét 2.9. Độ đo Lebesgue của mọi tập không quá đếm được trong
không. Do vậy, từ định nghĩa của độ đo xác suất trong các Ví dụ 2.7 và Ví dụ 2.8 nói trên,
sẽ có ở đó là độ đo Lebesgue trên
đều bằng
3. Biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất tổng quát
3.1. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 3.1. Cho
là một không gian xác suất. Giả sử f : X là một
X,
f
f 1 G
là hàm Borel trên X nếu với mọi tập Borel ([1]) G đều có
hàm số trên X.
Gọi một hàm Borel trên không gian xác suất là biến ngẫu nhiên.
Nhận xét 3.2.
i)
f
là hàm Borel trên X tương đương với f 1 , a đồng thời cũng
f 1 , a
tương đương với
ii) Nếu
f
là hàm Borel trên X thì f 1 , a ,a là các biến cố và do đó hàm
xác suất xác định trên các tập này.
3.2. Một số biến ngẫu nhiên trên
Ví dụ 3.3. Xét không gian xác suất
trong Ví dụ 2.5, ta xét hàm f : X
X,
xác định như sau: s X, f (s) s. Khi đó sẽ có:
khi a 1;
1
khi 1 a 2;
khi 2 a 3;
khi 3 a 4;
1,2
a ,a 1,2,3
1,2,3,4
1,2,3,4,5 khi 5 a 6;
khi 4 a 5;
X
khi a 6.
Rõ ràng f 1 , a nên
f
là hàm Borel trên X .
X 1, 1 ,
Ví dụ 3.4. Tương tự như Ví dụ 3.3, xét
tập Borel sinh bởi các tập con mở của 1, 1 và hàm xác suất
là - đại số các
2
xác định như trong
,
ở đó
2
2
2
2
Ví dụ 2.7. Khi đó
X
1, 1 1 và có 1, 1 ,
là không gian xác
2
suất. Xét f : X xác định như sau: s X, f s | s |. Khi đó sẽ có:
a ,a s X :| s | a
25
Xét các trường hợp sau:
f 1 ,a
Trường hợp 1. Nếu a 0 thì khi đó
Trường hợp 2. Nếu a 0 thì khi đó:
f 1 ,a s X :a s a = s X :a s s X :s a .
Không mất tính tổng quát, cần chỉ ra
Thật vậy, đặt
s X :s a
g s s,s X
thì hàm
g
liên tục (với topo thông thường) trên X. Đồng thời:
s X :s a = s X :g s a =g1 , a
bởi vì nghịch ảnh của tập mở
trong
qua hàm liên tục g là tập mở trong X, do đó
- đại số Borel trên X. Chứng tỏ là hàm
, a
g1 , a
f
là tập mở và do đó thuộc vào
Borel trên X .
Nhận xét 3.5.
i) Tổng quát trong Ví dụ 3.4, bằng lập luận tương tự như trên, với mọi
0 thì hàm
f : X xác định bởi s X, f s | s | đều là hàm Borel trên X.
ii) Trong Ví dụ 2.8, do mọi tập con của X đều thuộc
- đại số nên mọi hàm
f : X đều có f 1 ,a Do đó mọi hàm
f
xác định như trên đều là hàm Borel.
Tiếp theo, dựa vào kết quả trong [5] về cách xây dựng tập không Borel, ta xây dựng một
hàm không là hàm Borel như sau.
Ví dụ 3.6. Giả sử c(x) là hàm Cantor trên 0,1 . Đặt g x x c x , x X ở đó xét
không gian xác suất
trong Ví dụ 2.7. Khi đó như trong [5] có
là tập Borel và
X,
g
ở đó là họ các tập Cantor trên đoạn Tiếp tục theo [5] thì mọi tập có độ
0,1 .
g
A f 1
E
đo Lebesgue dương đều chứa một tập con không đo được, kí hiệu bởi E. Nếu đặt
thì theo [5] có A là tập con không Borel của X, tức là A Xét hàm f : X xác định bởi:
0 khi x A;
f x
1 khi x A.
Khi đó do A là tập con không Borel nên có f 1 ,2 A Vậy
f
không là hàm
Borel trên X.
4. Hàm xác suất trên
cảm sinh bởi không gian xác suất
4.1. Hàm xác suất trên cảm sinh bởi không gian xác suất
Giả sử X, là không gian xác suất và là hàm Borel trên X. Theo định nghĩa
suy ra với mọi tập Borel A có: x X : f x A Do vậy có thể xác định xác suất
f
x X : f x A . Đặt f A x X : f x A ,A là tập Borel trên
Hơn
26
nữa do nếu A thì f
tức
cũng là độ đo xác
f
suất trên
Vậy
là hàm xác suất trên
- đại số
các tập Borel trên
f
Định nghĩa 4.1. Gọi là độ đo xác suất cảm sinh bởi không gian xác suất
f
và
X,
hàm Borel
f
trên X. Đặc biệt đặt:
F a ,a f a , a
f
f
và gọi
là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên f .
Ff
4.2. Một số hàm xác suất trên cảm sinh bởi không gian xác suất cho trước
Ví dụ 4.1. Xét không gian xác suất
trong Ví dụ 2.7. Xét hàm f : X cho bởi:
X,
1
1 khi x 1;
2
f x
1
x khi 0 x< .
2
Khi đó dễ thấy
f
là hàm Borel trên X. Do
- đại số
các tập Borel trên sinh bởi
các tập
nên với mọi tập Borel A trên
có thể coi
Từ đó có:
A ,a .
,a , a
khi a 0;
1
0, a khi 0 < a ;
2
f A
,a x X : f x a
f
1
1
0,
khi a 1;
2
2
X
khi a 1.
0
khi a 0;
1
a
khi 0 < a ;
2
1
2
1
1
khi a 1;
2
khi a 1.
1 1
1
f x =1
,1 0.
Điều
Đặc biệt có 1 0. Tuy nhiên
f
f
f
2
2
này chứng tỏ độ đo xác suất cảm sinh
không liên tục tuyệt đối đối với độ đo (Lebesgue) .
f
Ví dụ 4.2. Xét không gian xác suất X, và hàm Borel
f
như trong Ví dụ 3.4.
Khi đó do | x | 0 nên ta chỉ xét các tập Borel A 0, 1 . Từ đó có:
27
2
f A
x X :| x | A = A
1
1
1
1
1 1
,0 0; f 0,
0,
,0 0,
Chẳng hạn:
f
2
2
2
2
2
2
2
2
5. Kì vọng và phƣơng sai của một số biến ngẫu nhiên
5.1. Kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên
Giả sử
là không gian xác suất và f : X là một biến ngẫu nhiên (tức là
X,
một hàm Borel trên X). Kí hiệu
là tập hợp các hàm khả tích (Lebesgue) bậc
, p 1
p trên X.
Định nghĩa 5.1. Ta nói biến ngẫu nhiên
f
có kỳ vọng nếu
Khi đó đặt:
.
f
d
và gọi
là kì vọng của biến ngẫu nhiên f . Đồng thời, nếu
thì ta đặt
f
f
var f X
và gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên f .
Nhận xét 5.2. Theo [4] có
Ff và
( f
var f
5.2. Kì vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên
Ví dụ 5.3. Xét không gian xác suất X, trong Ví dụ 2.7 và biến ngẫu nhiên:
1 khi x X
f x
0 khi x X [
f
là hàm Borel trên X. Thật vậy, với mọi a tập:
khi a 0
f 1 , a X
hi 0 a 1
X [ a 1
đều thuộc
X fd
Tiếp theo, có:
fd
[0,1]
Xét hàm g x 0, x 0, 1 thì g là hàm liên tục và theo [2] có
f
trên X nên g
fd
khả tích Lebesgue trên X thỏa mãn:
gd 0 . Vậy
[0,1]
[0,1]
Với cách tính tương tự, được tích phân:
28
f
d 0
X
Vậy var f 0.
Ví dụ 5.4. Tiếp tục xét không gian xác suất
trong Ví dụ 2.7 và biến ngẫu
X,
nhiên f : X xác định bởi:
Rõ ràng
f
là hàm Borel trên X. Khi đó:
s X, f s | s | s.
sd
X fd fd
[0,1]
[0,1]
Do
f
liên tục trên X nên
f
khả tích Rieamann và do đó khả tích Lebesgue trên X và có:
1
1
sd sds
[0,1]
2
0
1
2
Vậy
Tiếp tục bằng lập luận tương tự, xét tích phân:
2
2
1
1
1
2
1
f
d s
ds
X f
2
12
0
1
Vậy var f
.
12
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc (1996). Không gian tôpô - Độ đo và lý thuyết tích
phân, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
[2] Phạm Minh Thông (2007). Không gian tôpô, Độ đo - Tích phân. Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Hoàng Tụy (2003). Hàm thực và giải tích hàm. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội.
[4] K. Athreya and S. Lahiri (2006). Measure Theory and Probability Theory (Springer
Texts in Statistics), Springer-Verlag New York, Inc., Secaucus, N. J., USA.
[5] F. Burk (1997). Lebesgue Measure and Integration: An Introduction, 1 edition, Wiley-
Interscience, ISBN-10: 0471179787.
SOME PROBABILITY SPACES ON
Pham Thi Thai, Doan Thi Chuyen, Dang Kim Phuong
Tay Bac University
Abstract: In this paper, gave some probability spaces and then we give some random variables on those
spaces. Moreover, it follows these spaces, we also give some probability spaces on . Finally, we give some
examples of expectation and variance of a random variable on the probability space introduced above.
Keywords: - algebra, expectation, probability space, probability measure, random variable, variance.
29
8 trang
15/01/2024
12240
Free
Bạn đang xem tài liệu "Một số không gian xác suất trên R", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- mot_so_khong_gian_xac_suat_tren_r.pdf
