Giáo trình Quy hoạch tuyến tính - Chương IV: Ứng dụng quy hoạch tuyến tính
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG IV
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Chương này trình bày các bài toán để thấy khả năng ứng dụng rộng rãi của
quy hoạch tuyến tính. Bài toán trò chơi được trình bày một cách chi tiết, các bày toán
còn lại chỉ trình bày mô hình. Việc giải các bài toán này được nghiên cứu thêm trong
các môn tiếp theo.
Nội dung chi tiết của chương này bao gồm :
I- MỞ ĐẦU
II- BÀI TOÁN TRÒ CHƠI
1- Trò chơi có nghiệm ổn định
2- Trò chơi không có nghiệm ổn định
III- BÀI TOÁN VẬN TẢI
1- Mở đầu
2- Các khái niệm cơ bản
3- Bài toán vận tải cân bằng thu phát
4- Các bài toán được đưa về bài toán vận tải
IV- BÀI TOÁN DÒNG TRÊN MẠNG
1- Mở đầu
2- Phát biểu bài toán dòng trên mạng
V- QUY HOẠCH NGUYÊN
1- Mở đầu
2- Bài toán quy hoạch nguyên trong thực tế
CHƯƠNG IV
88
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu sơ lược một số khái niệm và phương
pháp cơ bản trong lý thuyết trò và một số bài toán thực tế mà người ta sẽ đưa về bài
toán quy hoạch tuyến tính để giải .
I- MỞ ĐẦU
Trong thực tế hay gặp tình huống là phải chọn một quyết định (bấp bênh) do
phải đối mặt với một đối thủ thông minh và có quyền lợi đối lập với ta : ví dụ trong
các trò chơi tranh chấp, trong quân sự, trong vận động tranh cử....
Nghiên cứu việc chọn quyết định trong những trường hợp đối kháng này có
tên gọi là lý thuyết trò chơi. Ở đây người chọn quyết định và đối thủ đều được gọi là
người chơi. Mỗi người chơi có một tập hợp các hành động để lựa chọn được gọi là
chiến lược.
Chúng ta xét một trường hợp đơn giản là trò chơi hai người : phần thưởng sẽ
là cái được của một người và chính là cái mất của người kia.
Giải một trò chơi nghĩa là tìm chiến lược tốt nhất cho mỗi người chơi. Hai
người chơi thường được ký hiệu là A và B, chiến lược tương ứng của mỗi người được
ký hiệu là :
A : i (i=1→m)
B : j (j=1→n)
Giải thưởng ứng với chiến lược (i,j) của hai người được ký hiệu là aij và được
viết thành một bảng như sau :
B
1
2
...
n
A
1
a11
a21
...
a12
a22
...
...
...
...
...
a1n
a2n
...
2
...
m
am1
am2
amn
Ví dụ :
←
B
1
2
3
4
89
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
1
0
3
1
2
3
1
2
0
2
-2
1
A
→
-1
-1
0
Ðối với A :
- Nếu A đi nước 1 (dòng 1) thì A sẽ :
. Thắng 1 điểm nếu B đi nước 1
. Thắng 0 điểm nếu B đi nước 2
. Thắng -2 điểm nếu B đi nước 3
. Thắng 1 điểm nếu B đi nước 4
Những trường hợp còn lại là tương tự .
(thắng)
(hoà)
(thua)
(thắng)
Ðối với B :
- Nếu B đi nước 2 (cột 2) thì B sẽ :
. Thua 0 điểm nếu A đi nước 1
. Thua 2 điểm nếu A đi nước 2
. Thua -1 điểm nếu A đi nước 3
Những trường hợp còn lại là tương tự .
Nghiệm tối ưu của trò chơi, có khi gọi tắt là nghiệm, là bộ chiến lược (i*,j*)
có tính chất là nếu một người lấy chiến lược khác còn người kia vẫn giữ nguyên thì
phần thưởng cho người đi khác sẽ bị thiệt hại. Giải trò chơi có nghĩa là tìm nghiệm tối
ưu.
II- BÀI TOÁN TRÒ CHƠI
1- Trò chơi có nghiệm ổn định
Hai nhà chính trị A và B vận động tranh cử 1 ghế ở nghị viện trong 2 ngày
cuối quan trọng nhất ở hai thành phố P và Q. Mỗi người phải đặt kế hoạch vận động
mà không biết được kế hoạch của đối phương. Các cố vấn đưa ra 3 chiến lược :
- Ở mỗi thành phố một ngày
- Ở cả 2 ngày ở thành phố P
- Ở cả 2 ngày ở thành phố Q và đánh giá kết quả vận động tương ứng
như sau :
1
2
3
←
90
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
B
1
2
3
1
1
0
2
0
1
4
5
A
→
-1
Dữ liệu là tổng số phiếu, tính theo đơn vị là ngàn, mà A sẽ dành được từ B hay
ngược lại .
Đây là một trường hợp đơn giản mà người ta có thể giải được bằng khái niệm
chiến lược bị trội hơn như sau :
- Đối với A thì chiến lược 3 bị trội hơn bởi chiến lược 1 và 2 vì nó mang đến
cho A số điểm thắng ít, nên dù B có chọn chiến lược nào thì A cũng vẫn chọn chiến
luợc 1 hoặc 2 mà bỏ chiến lược 3 . Ta có :
←
B
1
2
3
1
2
3
1
1
0
2
0
1
4
5
A
→
-1
- Đối với B thì chiến lược 3 bị trội hơn bởi chiến lược 1 và 2 vì nó mang đến
cho B số điểm thua nhiều nên B bỏ chiến lược 3. Ta có :
←
B
1
2
3
1
2
3
1
1
0
2
0
1
4
5
A
→
-1
- Đối với A thì chiến lược 2 bị trội hơn bởi chiến lược 1 vì vậy A bỏ chiến
lược 2. Ta có :
←
B
1
2
3
91
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
1
2
3
1
1
0
2
0
1
4
5
A
→
-1
- Đối với B thì chiến lược 2 bị trội hơn bởi chiến lược 1 vì vậy B bỏ chiến
lược 2. Ta có :
←
B
1
2
3
1
2
3
1
1
0
2
0
1
4
5
A
→
-1
Cuối cùng thì bộ chiến lược (1,1) là nghiệm tối ưu của trò chơi với kết quả là
người A thu thêm được 1 (ngàn) phiếu từ người B.
Trong nhiều trường hợp, khi dùng chiến lược bị trội hơn chỉ mới giảm được cở
của bài toán mà chưa giải quyết xong vấn đề đặt ra.
Chiến lược MaxiMin và MiniMax
Xét ví dụ tương tự như ví dụ trên nhưng bảng kết quả vận động được các cố
vấn đánh giá như sau :
←
B
1
2
3
1
2
3
-3
1
-2
0
6
2
A
→
5
-2
-4
Đây là trường hợp người chọn quyết định nghĩ là đối phương thông minh và
cố ý chọn quyết định chống lại mình nên họ luôn nghĩ đến chiến lượt “ăn chắc” , đó là
MaxiMin(A) và MiniMax(B) như sau :
a- MaxiMin(A)
A luôn xem B là đối thủ thông minh. Khi A đi nước i0 (dòng i0) thì B sẽ chọn
nước đi j0 (cột j0) sao cho A thắng điểm ít nhất . Nghĩa là B đi vào ô :
ai j = Min
ai j
0 0
0
∀j
92
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Trong tình huống đó A sẽ chọn nước đi sao cho A thắng nhiều điểm nhất.
Chiến thuật của A là đi vào ô :
gA = ai j = MaxiMin (A) = max
min
aij
A
A
j
i
A đi nước 1 thì B sẽ đi nước 1
A đi nước 2 thì B sẽ đi nước 2
A đi nước 3 thì B sẽ đi nước 3
: a11=-3
: a22=0
: a33=-4
←
B
1
2
3
1
2
3
-3
1
-2
6
A
→
0
2
5
-2
-4
Vậy MaxiMin(A) = a22 = 0
b- MiniMax(B)
B luôn xem A là đối thủ thông minh. Khi B đi nước j0 (cột j0) thì A sẽ chọn
nước đi i0 (dòng i0) sao cho B thua điểm nhiều nhất . Nghĩa là A đi vào ô
ai j = max
aij
0
0
0
∀i
Trong tình huống đó B sẽ chọn nước đi sao cho B thua ít điểm nhất. Chiến
thuật của B là đi vào ô :
gB = ai j = MiniMax (B) = min
max
aij
B
B
j
i
←
B
1
2
3
1
2
3
-3
1
-2
0
6
2
A
→
5
-2
-4
B đi nước 1 thì A sẽ đi nước 3
B đi nước 2 thì A sẽ đi nước 2
B đi nước 3 thì B sẽ đi nước 1
Vậy MiniMax(B) = a22= 0
: a31=5
: a22=0
: a13=6
Lần này ta thấy rằng :
MaxiMin(A) = MiniMax(B) = a22= 0
93
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Bộ chiến lược (2,2) có giá trị là 0 là nghiệm tối ưu của trò chơi vì nếu người
nào đi lệch và người kia đi đúng thì người đi đúng thu lợi nhiều hơn giá trị của trò
chơi. Nghiệm tối ưu trong trường hợp này còn được gọi là nghiệm ổn định.
2- Trò chơi không có nghiệm không ổn định
Xét ví dụ tương tự như trên với bảng kết quả được các chuyên gia đánh giá
như sau :
←
B
1
2
3
1 0
2 5
3 2
-2
4
2
A
→
-3
-4
3
Khi A và B dùng chiến lược MaxiMin và MiniMax của mình thì cho kết quả
như sau :
MaxiMin(A) = a12 = -2
MiniMax(B) = a13 = 2
Vì MaxiMin(A) và MiniMax(B) là khác nhau nên trò chơi không có nghiệm
ổn định. Ta xem điều gì có thể xảy ra ?
- A tính rằng nếu B thực hiện đúng chiến lược của mình là chọn cột 3 thì A sẽ
chọn chiến lược 1 để thắng 2 từ B (thay vì thắng -2)
←
B
1
2
3
1
2
3
0
5
2
-2
4
2
A
→
-3
-4
3
- Lúc này B sẽ suy tính và thấy rằng phải chọn chiến lược 2 để thua -2 từ A
(thay vì thua 2).
1
2
3
←
94
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
B
1
2
3
0
5
2
-2
4
2
A
→
-3
-4
3
- Đến lượt A cũng đủ thông minh để tính liền được 2 nước, biết được B sẽ
chọn chiến lược 2 nên A sẽ dùng chiến lược 2 để thắng 4 từ B .
←
B
1
2
3
1
2
3
0
5
2
-2
4
2
A
→
-3
-4
3
- Nhưng B cũng tính được điều này nên sẽ quay lại chọn chiến lược 3 để thua -
3 từ A .
←
B
1
2
3
1
2
3
0
5
2
-2
4
2
A
→
-3
-4
3
- Cũng như B , A cũng sẽ tính được điều này nên sẽ quay lại chọn chiến lược 1
để thắng 2 từ B.
←
B
1
2
3
1
2
3
0
5
2
-2
4
2
A
→
-3
-4
3
Như vậy ta đã xoay đúng một vòng, và nếu cứ lập luận như vậy thì ta sẽ xoay
vòng mãi. Những bộ chiến lược nhận được trong khi xoay vòng là những nghiệm
không ổ định.
Chiến lược hỗn hợp
95
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Để có được lời giải của trò chơi không có nghiệm ổn định người ta đưa ra khái
niệm chiến lược hỗn hợp. Mỗi người chơi không chọn một chiến lược thuần túy như
trước đây mà chọn một phân bố xác suất sử dụng tất cả các chiến lược.
Xét trò chơi giữa A và B có ma trận điểm dương có dạng tổng quát :
1
2
...
n
←
B
1
2
...
...
a11
a12
a1n
a21
...
a22
...
a2n
...
A
→
...
m
...
...
am1
am2
amn
Giả sử rằng :
MaxiMin(A) = ai j = gA
A
A
MiniMax (B) = ai j = gB
B
B
a
≠ a
iA jA
iB jB
Gọi :
. pi > 0 (i=1→ m ) là tần suất nước đi thứ i của A với
p1 + p2 + ... + pm = 1
. qj > 0 (j=1→ n ) là tần suất nước đi thứ j của B với
q1 + q2 + ... + qn = 1
q1
1
q2
2
...
...
qn
n
←
B
p1
p2
1
2
...
...
a11
a12
a1n
a21
...
a22
...
a2n
...
A
→
... ...
pm
...
...
m
am1
am2
amn
Vấn đề đặt ra là :
96
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
-Tìm tần suất pi > 0 của nước đi thứ i (i =1→ m) của A sao cho đối với mỗi
nước đi thứ j của B số điểm thắng trung bình của A không nhỏ thua gA :
p1a1j + p2a2j + ..... + pmamj
Cũng có nghĩa là tìm pi sao cho :
(∀j = 1→ n)
p1a1j + p2a2j + ..... + pmamj ≥ g1 ≥ gA (∀j = 1→ n)
g1 → max
- Tìm tần suất qj > 0 của nước đi thứ j (j =1→ n) của B sao cho đối với mỗi
nước đi thứ i của A số điểm thua trung bình của B không lớn hơn gB :
q1ai1 + q2ai2 + .... + qnain (∀i = 1→ m)
Cũng có nghĩa là tìm các qj sao cho :
q1ai1 + q2ai2 + ..... + qnain ≤ g2 ≤ gB
g2 → min
(∀i = 1→ m)
Khi đó hai bài toán quy hoạch tuyến tính thu được là :
⎧
⎛
⎞
1
g1
⎜
⎜
⎟
⎟
max g
min
⎪
⎪
1
⎝
⎠
⎪
⎪
p1 + p2 + ... + pm = 1
⎨
⎪
p1a1j + p2a2j + ... + pmamj ≥ g1
(j = 1 → n)
⎪
⎪
⎪
pi > 0 (i = 1 → n)
⎩
⎧
⎛
⎞
1
g2
⎜
⎜
⎟
⎟
min g
max
⎪
⎪
2
⎝
⎠
⎪
⎪
q1 + q2 + ... + qn = 1
⎨
⎪
⎪
⎪
q1ai1 + q2ai2 + ... + qnain ≤ g2
(i = 1 → m)
q > 0 (j = 1 → m)
⎪
j
⎩
Chia các ràng buộc của bài toán thứ nhất cho g1>0 và đặt :
pi
g1
xi =
(i = 1 → m)
Chia các ràng buộc của bài toán thứ hai cho g2>0 và đặt :
97
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
qj
yj =
(j = 1 → n)
g2
Khi đó hai bài toán quy hoạch tuyến tính trên trở thành :
1
g1
⎧
min
= x1 + x2 + ...+ xm
⎪
⎪
⎪
(D) a x + a x + ...+ a x ≥ 1
(j = 1 → n)
⎨
1j
1
2j
2
mj
m
⎪
xi > 0 (i = 1 → m)
⎪
⎪
⎩
1
g2
⎧
max
= y1 + y2 + ...+ y3
⎪
⎪
⎪
(P) a y + a y + ... + a y ≤ 1
(i = 1 → m)
⎨
i1
1
i2
2
in
n
⎪
yj > 0 (j = 1 → m)
⎪
⎪
⎩
Ðây là hai bài toán đối ngẫu . Chọn một trong hai để giải
Ví dụ :
Xét trò chơi giữa A và B có bảng điểm như sau :
1
2
3
←
B
1
2
3
-1
1
2
-2
4
1
2
A
→
3
-3
Theo chiến thuật của A và của B ta có :
MaxiMin(A) = a11
MiniMax(B) = a23
Tăng đồng loạt các ô của bảng điểm lên 4 ta được :
1
2
3
←
B
1
2
3
3
5
7
6
2
8
5
6
1
A
→
98
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Gọi
pi ≥ 0 là tần suất nước đi thứ i của A (i=1→ 3)
p1 + p2 + p3 = 1
qj ≥ 0 là tần suất nước đi thứ j của B (j=1→ 3)
q1 + q2 + q3 =1
Thực hiện tương tự như trên ta được hai bài toán đối ngẫu như sau :
q1
q2
q3
←
B
p1
p2
p3
3
5
7
6
2
8
5
6
1
A
→
1
g2
1
g1
⎧
⎧
min w =
= x1 + x2 + x3
max z =
= y1 + y2 + y3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
3x1 + 5x2 + 7x3 ≥ 1
6x + 2x + 8x ≥ 1
3y1 + 6y2 + 5y3 ≤ 1
5y + 2y + 6y ≤ 1
(D)
(P)
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
2
3
1
2
3
5x + 6x + x ≥ 1
7y + 8y + y ≤ 1
1
2
3
1
2
3
x1 > 0 , x2 > 0 , x3 > 0
y1 > 0 , y2 > 0 , y3 > 0
Ta chọn bài toán (P) để giải.
Ðưa bài toán (P) về dạng chuẩn :
1
g2
⎧
max z =
= y1 + y2 + y3 + 0.y4 + 0.y5 + 0.y6
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3y1 + 6y2 + 5y3 + y4 = 1
5y + 2y + 6y + y = 1
(P)
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
2
3
5
7y + 8y + y + y = 1
1
2
3
6
y1 > 0 , y2 > 0 , y3 > 0, y4 > 0 , y5 > 0 , y6 > 0
Dùng giải thuật đơn hình cải tiến :
y1 y2
y4
cB
iB
y3
y5
y6
b0
0
0
99
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
0
0
0
4
5
6
3
5
7
6
2
8
5
6
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
cT
c0T
z0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
y1
y2
y4
c
i
y3
y5
y6
B1
B1
b1
18
7
32
7
3
4
7
2
7
1
7
z1
−
−
0
0
1
4
0
1
0
7
5
7
26
7
37
7
−
5
1
0
0
1
8
7
1
7
1
7
1
1
0
0
0
0
0
0
0
cT
c1T
1
1
0
1
1
7
6
7
1
7
−
−
7
y1
y2
y4
cB
iB
y3
y5
y6
b2
2
2
214
37
32
37
7
37
12
37
2
37
5
−
0
4
0
0
1
26
37
46
7
37
5
37
−
−
1
1
3
1
0
1
0
1
37
6
37
−
1
1
0
0
1
0
0
0
0
37
37
z2
cT
c2T
1
0
0
17
37
6
37
1
37
7
37
−
−
y1
y2
y4
c
i
y3
y5
16
107
9
107
17
107
y6
B3
B3
b3
37
214
13
107
23
7
214
12
107
13
107
6
107
10
107
7
−
1
2
0
1
0
1
−
1
1
3
1
0
0
−
1
1
0
1
0
1
107
107
z3
cT
0
0
0
100
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
17
214
10
107
9
214
23
107
c3T
−
−
−
0
0
0
Phương án tối ưu của bài toán (P) là :
1
23
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
107
23
⎧
=
g2 =
g2 107
⎪
⎪
⎪
⎪
q1
7
7
23
y1 =
y2 =
y3 =
=
q =
1
⎪
⎪
g2 107
⎪
⎨
suy ra
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
q2
6
6
23
⎪
⎪
⎪
⎪
=
q2 =
g2 107
10
23
q3
10
q =
⎪
3
=
⎩
⎪
⎩
g2 107
Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu (D) được tính bằng công thức sau :
37
214
13
107
23
107 107
16
7
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
−
107 214
9
107
17
12
107
13
xT =
[
x1 x2 x3
]
= cBTB−1
=
[
1 1 1
]
−
−
⎢
⎣
⎥
⎦
107
17
10
9
⎡
⎤
=
⎢
⎥
214 107 214
⎣
⎦
17
214
10
107
9
214
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1
g1
23
107
w =
= bT x =
[
1 1 1
]
=
⎢
⎣
⎥
⎦
Ta có :
101
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
1
23
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
107
23
⎧
⎪
⎪
⎪
w =
=
g1 =
g1 107
p1
17
17
46
x1 =
x2 =
x3 =
=
p =
⎪
1
⎪
⎪
g1 214
⎪
⎨
suy ra
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
p2
10
10
23
⎪
=
p2 =
⎪
g1 107
⎪
⎪
9
46
p3
9
p =
⎪
3
=
⎩
⎪
⎩
g1 214
III- BÀI TOÁN VẬN TẢI
1- Mở đầu
Bài toán vận tải là bài toán quan trọng nhất trong các bài toán quy hoạch tuyến
tính. Người ta tổng kết rằng 85% các bài toán quy hoạch tuyến tính gặp trong ứng
dụng là bài toán vận tải hoặc mở rộng của nó. Thuật ngữ bài toán vận tải thường được
hiểu là bài toán vận chuyển sao cho cước phí nhỏ nhất.
2- Các khái niệm cơ bản
Bài toán vận tải được mô tả như là một bài toán về dòng dữ liệu gồm tập hợp
các nút N được chia thành hai phần rời nhau : các nút nguồn S và các nút đích D, tức
là :
N = S ∪ D
⎧
⎨
S ∩ D = ∅
⎩
và mỗi cung (i,j) trong tập các cung A đều có gốc trong S và có ngọn trong D.
D:Các nút đích
S:Các nút nguồn
Các nút thuộc S được gọi là các nút nguồn (cung), các nút thuộc D được gọi là
các nút đích (cầu). Một cách tổng quát, bài toán vận tải trình bày được bằng đồ thị.
Ở bài toán vận tải đôi khi còn có thêm giả thiết nữa là mỗi nút nguồn đều có
cung nối với mọi nút đích. Ở đây ta chỉ đề cập đến bài toán vận tải có thêm giả thiết
này và sẽ gọi tắt là bài toán vận tải.
102
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Đối với bài toán vận tải người ta thường ký hiệu
si ∈ S là nguồn phát ở nút i(i=1→m)
dj ∈ D là nhu cầu thu của nút j (j=1→n)
Trong trường hợp các nguồn phát không chuyển hết sang các nút cầu vì đã đủ
nhu cầu thì bài toán vận tải được gọi là bài toán vận tải mở. Có thể đưa một bài toán
vận tải mở về một bài toán vận tải (đóng) bằng cách thêm vào một nút cầu giả thứ
(n+1) với nhu cầu được xác định như sau :
m
n
dn+1
=
s −
d
∑ ∑
i
j
i=1
j=1
3- Bài toán vận tải cân bằng thu phát
a- Thiết lập bài toán
Có m nơi A1, A2,....,Am cung cấp một loại hàng với khối lượng tương ứng là
a1, a2,....,am. Hàng được cung cấp cho n nơi B1, B2,...., Bn với khối lượng tiêu thụ
tương ứng là b1, b2,....,bn.
Cước phí chuyên chở một đơn vị hàng từ điểm phát Ai đến điểm thu Bj là cij .
Hãy lập kế hoạch vận chuyển từ mỗi điểm phát đến mỗi điểm thu bao nhiêu
hàng để :
- Các điểm phát đều phát hết hàng
- Các điểm thu đều nhận đủ hàng
- Tổng cước phí phải trả là ít nhất
Gọi xij là lượng hàng chuyển từ điểm phát Ai đến điểm thu Bj , xij ≥ 0 .
Vì tổng lượng hàng phát đi từ mỗi điểm phát Ai đến mọi điểm thu Bj bằng
lượng hàng phát từ Ai nên :
xi1 + xi2 + .... + xin = ai (i = 1,2,...,m)
Vì tổng lượng hàng thu được tại mỗi điểm thu Bj từ mọi điểm phát Ai bằng
lượng hàng cần thu tại Bj nên :
x1j + x2j + .... + xmj = bji (j = 1,2,...,n)
Để tổng cước phí là ít nhất cần phải có :
min z(x) =
c x
∑∑
ij ij
i
j
Với các phân tích trên ta có mô hình của bài toán như sau :
103
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
n
n
min z(x) =
c x
(1)
∑∑
ij ij
i=1 j=1
n
⎧
x = a (i = 1,2,...,m)
∑
ij
i
⎪
⎪
⎨
j=1
(2)
(3)
m
⎪
x = b (j = 1,2,...,n)
∑
ij
j
⎪
⎩
i=1
xij ≥ 0
Phương án - Phương án tối ưu
Một ma trận X=[xij]m.n thỏa (2) và (3) được gọi là phương án, thỏa thêm (1)
được gọi là phương án tối ưu.
b- Dạng bảng của bài toán vận tải
Có thể giải bài toán vận tải theo cách của quy hoạch tuyến tính. Tuy nhiên do
tính chất đặc biệt của bài toán vận tải nên người ta nghĩ ra một thuật toán hiệu quả
hơn. Trước tiên người ta trình bày bài toán vận tải dưới dạng bảng như sau :
Thu
Cước
Phát
b1
b2
....
bj
....
bn
a1
c11
c21
c12
c22
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
c1j
c2j
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
c1n
c2n
x11
x21
x12
x22
x1j
x2j
x1n
x2n
a2
....
....
....
....
....
....
....
....
ai
ci1
ci2
cij
cin
xi1
xi2
xij
xin
....
am
cm1
cm2
cmj
cmn
xm1
xm2
xmj
xmn
Trong bảng mỗi hàng mô tả một điểm phát, mỗi cột mô tả một điểm thu, mỗi ô
mô tả một tuyến đường đi từ một điểm phát tới một điểm thu.
Dây chuyền - Chu trình
Một dãy các ô của bảng mà hai ô liên tiếp nằm trong cùng một hàng hoặc một
cột, ba ô liên tiếp không cùng nằm trên một hàng hoặc một cột được gọi là một dây
chuyền. Ta thấy rằng hai ô liền nhau trong một dây chuyền có chỉ số hàng hoặc chỉ số
cột bằng nhau
104
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
x
x
x
x
x
x
Dây chuyền : (1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (4,4) (4,1)
Một dây chuyền khép kín, ô đầu tiên và ô cuối cùng bằng nhau, được gọi là
một chu trình.Ta thấy rằng số ô trong một chu trình là một số chẵn.
x
x
x
x
x
x
Chu trình : (1,1) (1,3) (2,3) (2,4) (4,4) (4,1) (1,1)
Ô chọn - Ô loại
Giả sử ma trận X=[xij]m.n (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n) là một phương án của bài
toán vận tải.
Những ô trong bảng tương ứng với xij >0 được gọi là ô chọn, những ô còn lại
được gọi là ô loại.
Phương án cơ bản
Một phương án mà các ô chọn không tạo thành một chu trình được gọi là
phương án cơ bản.
Một phương án có đủ m+n-1 ô chọn được gọi là không suy biến, có ít hơn
m+n-1 ô chọn được gọi là suy biến. Trong trường hợp suy biến người ta chọn bổ sung
vào phương án cơ bản một số ô loại có lượng hàng bằng 0 để phương án cơ bản trở
thành không suy biến
c- Giải bài toán vận tải
Xét bài toán vận tải có số lượng phát, số lượng thu và ma trân cước phí ở dạng
bảng như sau :
80
5
20
4
60
1
50
40
70
3
2
6
7
9
11
105
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
LẬP PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN BAN ĐẦU
Phương án cơ bản ban đầu được xác định bằng cách ưu tiên phân phối nhiều
nhất vào ô có cước phí nhỏ nhất (r,s) ( gọi là ô chọn). Khi đó : nếu điểm phát r đã phát
hết hàng thì xóa hàng r của bảng và số lượng cần thu tại điểm s chỉ còn là bs-ar ; nếu
điểm thu s đã nhận đủ hàng thì xóa cột s của bảng và số lượng phát còn lại tại điểm
phát r là ar-bs
Bảng mới thu được có kích thước giảm đi. Tiếp tục phân phối như trên cho
đến khi hết hàng.
Các ô chọn trong quá trình phân phối, sẽ không chứa chu trình, là một phương
án cơ bản. Nếu phương án cơ bản suy biến, chưa đủ m+n-1 ô, thì bổ sung thêm một số
" ô chọn 0 "
Áp dụng vào bài toán đang xét :
1- Phân vào ô (1,3) 50 . Hàng (1) bị xóa . Cột (3) còn thu 60-50=10
80
20
10
50
0 5
40 3
70 7
4
2
9
1
6
11
2- Phân vào ô (2,2) 20 . Cột (2) bị xóa . Hàng (2) còn phát 40-20=20
80 10
50
0
0 5
20 3
70 7
4
2
9
1
20
6
11
3- Phân vào ô (2,1) 20 . Hàng (2) bị xóa . Cột (1) còn thu 80-20=60
60 10
50
0
0 5
4
2
9
1
0 3 20
20
6
70 7
11
4- Phân vào ô (3,1) 60 . Cột (1) bị xóa . Hàng (3) còn phát 70-60=10
10
50
0
0
0 5
4
2
9
1
0 3 20
20
6
10 7 60
11
106
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
5- Phân vào ô (3,3) 10. Hết hàng.
0
0
0
0 5
4
2
9
1
6
50
0 3 20
0 7 60
20
11 10
Đã có 5 ô được chọn, chúng tạo thành một phương án cơ bản không suy biến
vì số ô bằng với m+n-1=3+3-1.
THUẬT TOÁN "QUY 0 CƯỚC PHÍ CÁC Ô CHỌN"
Định lý
Nếu cộng vào hàng i và cột j của ma trận cước phí C=[cij] một số tùy ý ri và sj
thì bài toán vận tải mới với ma trận cước phí mới C'=[c'ij=cij+ri+sj] thì phương án tối
ưu của bài toán này cũng là phương án tối ưu của bài toán kia và ngược lại.
Thuật toán "Quy 0 cước phí các ô chọn" gồm ba giai đoạn.
Giai đoạn 1 : Quy 0 cước phí các ô chọn
Sau khi xác định được phương án cơ bản có m+n-1 ô chọn, người ta cộng vào
mỗi hàng i và mỗi cột j của ma trận cước phí C=[cij] một số ri và sj sao cho ma trận
cước phí mới C' tại các ô chọn thỏa c'ij=cij+ri+sj=0.
Tiếp tục ví dụ trên ta thấy :
5
3
7
4
2
9
1
6
50 r1=6
20
60
20
r2=0
11 10 r3=-4
s1=-3
s2=-2
s3=-7
Các giá trị cộng vào phải thỏa hệ phương trình :
1 + r + s = 0
⎧
1
3
⎪
3 + r2 + s1 = 0
2 + r + s = 0
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
2
2
7 + r3 + s1 = 0
⎪
11 + r3 + s3 = 0
⎩
Chọn r2=0 , giải hệ ta được kết quả trên
Ma trận cước phí mới thu được là :
8
8
0
50
107
Tải về để xem bản đầy đủ
33 trang
15/01/2024
15640
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Quy hoạch tuyến tính - Chương IV: Ứng dụng quy hoạch tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_quy_hoach_tuyen_tinh_chuong_iv_ung_dung_quy_hoach.pdf
