Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 7: Hàm phức giải tích
Chương 7: Hàm phức giải tích
P7.1: Cho hàm f(z) = xy2 + ix2y, tìm số phức z0 để f(z) là :
(a) Khả vi tại z0 ? (b) giải tích tại z0 ?
(Ans: (a) C-R thỏa tại z0 = 0 (b) vô nghiệm )
P7.2: Tìm hàm giải tích f(z) mà hàm phần thực của nó là u(x,y)
= x2 + y ?
(Ans: u không phải hàm điều hòa )
P7.3: Chứng tỏ rằng hàm phần thực và phần ảo của hàm phức
f(z) = (z + 1)3 thỏa điều kiện Cauchy – Riemann .
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
1
Chương 7: Hàm phức giải tích
P7.4: Cho hàm f(z) = [x3 + x2 – (3x + 1)y2] + i[xy(3x + 2) – y3],
chứng minh rằng f(z) giải tích với mọi z và tìm f’(z) ? Biểu diễn
f(z) và f’(z) là các hàm theo z ?
(Ans: f(z) = z3 + z2 ; f’(z) = 3z2 + 2z )
P7.5: Chứng tỏ rằng f(z) = e–y(cosx + isinx) thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann với mọi z ? Tìm f’(z) và viết kết quả dưới dạng
hàm theo biến z ?
(Ans: f’(z) = ieiz )
P7.6: Chứng minh rằng các hàm sau là hàm toàn phần (hàm
giải tích với mọi z) ?
a) f(z) = 3x + y + i(3y – x)
b) f(z) = sinx.coshy + icosx.sinhy
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
2
Chương 7: Hàm phức giải tích
P7.7: Hàm nào trong các hàm sau là điều hòa ? Tìm một hàm
điều hòa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ?
(a) u(x,y) = 2x(3 – y) ? (b) u(x,y) = excosy ?
(Ans: (a) v = x2 + 6y – y2 (b) v = exsiny )
P7.8:
a) Chứng tỏ rằng u(x,y) = x2 – y2 – x – y là phần thực của một
hàm giải tích f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ?
b) Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x,y) và cho biết hàm giải tích
f(z) đó (biểu diễn f(z) theo z) ?
(Ans: (a) dùng pt Laplace (b) v = 2xy – y + x + C;
f(z) = z2 + (i – 1)z + iC )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
3
Chương 7: Hàm phức giải tích
P7.9: Chứng minh rằng hàm u(x, y) đã cho là hàm điều hòa ?
Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ?
(a) u(x,y) = x2 –y2 +2x
(b) u(x,y) = x3 –3xy2 – 5y
(Ans: (a) v = 2xy + 2y + C (b) v = 3x2y – y3 + 5x + C )
P7.10: Chứng minh rằng hàm u(x, y) đã cho là hàm điều hòa ?
Tìm một hàm điều hòa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ? Biểu
diễn lại f(z) chỉ theo biến z ?
(a) u(x,y) = sinx.coshy
(b) u(x,y) = ex[xcosy – ysiny]
(Ans: (a) v = cosx.sinhy; f(z) = sin(z)
(b) v = ex[xsiny + ycosy]; f(z) = zez )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
4
Chương 7: Hàm phức giải tích
P7.11: Cho hàm u(x, y) = x.sinx.coshy – y.cosx.sinhy.
a) Chứng tỏ rằng u(x, y) là hàm điều hòa ?
b) Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x, y) sao cho f(z) là giải tích và
f(0) = 0 ?
(Ans: (b) v = y.sinx.coshy + x.cosx.sinhy ; f(z) = z.sinz )
P7.12: Cho hàm f(z) = x2 + ay2 – 2xy +i(bx2 – y2 + 2xy).
a) Xác định a và b để f(z) giải tích ?
b) Theo câu a), xác định f(z) và f’(z) chỉ theo biến z ?
(Ans: (a) a = – 1; b = 1 (b) f(z) = (1 + i)z2 ; f’(z) = 2(1 + i)z )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
5
Chương 7: Hàm phức giải tích
P7.13: Tính toán giá trị các hàm phức sau và đặt kết quả dưới
dạng đại số a + ib :
a) e2+i3π b) ln(1− i 3)
d) cosh(1 − i)
c) sin(1 + i)
i
e) Trị chính của i f) Trị chính của (1 + i)1 + i
(Ans: a) − e2 b) ln2 − i π3 + ik2π c) 1.299 + 0.635i d) 0.8337 − 0.9889i
e) e−π/ 2
f) 0.274 + 0.5837i )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
6
Chương 7: Hàm phức giải tích
P7.14: Tìm nghiệm của phương trình phức :
a) ez = 0
c) ez = −2
b) coshz = 0
d) coshz = −2
e) cosz = 2 f ) ln z = e − iπ
(Ans: a) no solutions b) i( π2 + kπ)
c) ln2 + iπ + ik2π d) ± arccosh(2) + iπ + ik2π
e) k2π ± iarccosh(2) f) −15.154 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
7
7 trang
23800
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 7: Hàm phức giải tích", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_toan_ky_thuat_chuong_7_ham_phuc_giai_tich.pdf
