Bài giảng Hình họa - Nguyễn Độ
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT
-----0-----
BÀI GIẢNG
HÌNH HỌA
GVC.ThS NGUYỄN ĐỘ
Bộ môn Hình họa – Vẽ kỹ thuật
ĐÀ NẴNG - 2005
Bai giang HÇNH HOA
Må âáu
MỞ ĐẦU
A. MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU
1) Mục đích
Hình hoạ là một môn học thuộc lĩnh vực Hình học, nhằm:
− Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt mà thông
thường là mặt phẳng hai chiều
− Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán trong không gian bằng cach giải chúng trên
các hình biểu diễn phẳng đó
− Cung cấp một số kiến thức hình học cơ bản để học tiếp môn Vẽ kĩ thuật và giải quyết một số
vấn đề liên quan đến chuyên môn.
2) Yêu cầu của hình biểu diễn
Hình biểu diễn phải đơn giản, rõ ràng, chính xác. Các hình biểu diễn phải tương ứng với một
hình nhất định trong không gian; người ta gọi tính chất này là tính phản chuyển hay tính tương
đương hình học của hình biểu diễn
3) Một số ký hiệu và quy ước
Trong bài giảng này sẽ dùng những ký hiệu và qui ước sau:
−
−
Điểm
Đường thẳng
Chữ in như: A, B, C,...
Chữ thường như: a,b,c,...
− Mặt phẳng
− Sự liên thuộc
− Vuông góc
− Giao
− Kết quả
− Song song
− Trùng
Chữ Hy lạp hoặc chữ viết hoa như: α, β, γ, δ,...A, B, C, ...
Ký hiệu ∈ như: điểm A∈a; đường thẳng a ∈ mp (α ), ...b∈mp(Q),...
⊥ như: a ⊥ b
∩ như: A= d ∩ l
= như: g= mpα ∩ mpβ
// như: d // k
≡ như: A ≡ B
B. CÁC PHÉP CHIẾU
I. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
1) Cách xây dựng
Trong không gian cho mặt phẳng P và một điểm S không thuộc mp(P ).(Hình 1)
Người ta thực hiện phép chiếu một điểm A bất kỳ như sau:
Vẽ đường thẳng SA, đường thẳng này cắt mặt phẳng P tại điểm A’
Ta có các định nghĩa:
− P : Mặt phẳng hình chiếu
− S : Tâm chiếu
Hçnh1
− SA : Đường thẳng chiếu hoặc tia chiếu
− A’ : Hình chiếu xuyên tâm của điểm A từ tâm
chiêú S lên mặt phẳng hình chiếu P .
Phép chiếu được xây dựng như trên được gọi là phép
A’
P
chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S và mặt phẳng hình chiếu P.
Một phép xuyên tâm được xác định khi biết tâm chiếu S và mặt phẳng hình chiếu P.
1
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Må âáu
¾ Chú ý
a) Hình là một tập hợp điểm. Vậy để chiếu một hình ta chiếu một số điểm thành phần của hình
đủ xác định hình đó
b) Nếu trong không gian Ơclic ta bổ sung thêm các yếu tố vô tận thì:
_ Hai đường thẳng son g song xem như cắt nhau tại một điểm ở vô tận:
a // b ⎭ a ∩ b = M∞
Như vậy để biểu diễn một điểm ở vô tận ta biểu diễn nó bằng một phương đường thẳng
_ Hai mặt phẳng son g song xem như cắt nhau theo một đường thẳng ở vô tận
mpα // mpβ ⎭ mpα ∩ mpβ = d∞
2) Tính chất
1. Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng
Khi chiếu đường thẳng a, các tia chiếu SA, SB hình thành một mặt phẳng (SAB) gọi là mặt
phẳng chiếu. Do đó hình chiếu a’(≡A'B')= mp(SAB) ∩ mp(P) (hình 2)
2. Hình chiếu xuyên tâm của những đường thẳng song song nói chung là những đường thẳng
đồng qui
Giả sử cho a // b nên các mp(S,a) và mp(S,b) sẽ giao với mp(P) cho các giao tuyến a’, b’ cắt
nhau tại điểm M’ (M’ là hình chiếu xuyên tâm của điểm M∞ của đường thẳng a, b) (hình 3)
S
S
b
a
A
B
B
A
a
M'
A'
b'
B'
a'
a'
B'
A’
P
P
Hình 2
Hình 3
II. PHÉP CHIẾU SONG SONG
1) Cách xây dựng
Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiêu xuyên tâm khi tâm chiếu S ở xa vô
tận
Như vậy phép chiếu song song được xác định khi biết mặt phẳng hình chiếu P và phương chiếu s
s
t
Hçnh 4
A’
Người ta chiếu song song điểm A bằng cách qua A vẽ đường thẳng t song song với phương s, vẽ
giao điểm A’ = t ∩ mp(P ) thì A’ là hình chiếu song song của điểm A từ phương chiếu s lên mặt
phẳng hình chiếu P (hình 4).
2) Tính chất
Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiêu xuyên tâm nên có những tính chất
của phép chiếu xuyên tâm. Ngoài ra phép chiếu song song có những tính chất sau:
2
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Må âáu
1. Hình chiếu song song của những đường thẳng không song song với phương chiếu là những
đường thẳng song song.
Giả sử cho a // b nên các mặt phẳng chiếu thuộc a, b song song nhau, do đó giao tuyến của chúng
với mặt phẳng hình chiếu P là những đường thẳng song song: a’ // b’ (hình 5)
C'
a'
B'
A'
Hình 6
b'
Hình 5
P
P
2. Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng bằng tỉ số đơn của ba điểm phân biệt hình chiếu
của chúng
Cho ba điểm A, B ,C phân biệt thẳng hàng, chiếu thành ba điểm A’, B’, C’ cũng phân biệt thẳng
hàng.(hình 6). Theo định lý Thalet, ta có:
CA
CB
C'A'
C'B'
=
Ký hiệu tỉ số đơn của ba điểm A,B,C như sau: (ABC) = (A’B’C’)
III. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC
1) Cách xây dựng
Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiêu
song song khi phương chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu P : s ⊥P (hình 7)
s
P
Hình 7
2) Tính chất
Phép chiếu vuông góc có những tính chất của phép chiếu song song; Ngoài ra còn có nhiều tính
chất, chúng ta sẽ nghiên cứu ở các chương sau.
IV. NHẬN XÉT
Ta có thể dùng các phép chiếu trên để biểu diễn vật thể trong không gian lên một mặt phẳng.
Tuy nhiên với mổi hình chiêu thì chưa xác định được một vật thể duy nhất trong không gian
Vì vậy một hình chiếu chưa đảm bảo được tính phản chuyển của hình biểu diễn.
¾ Trong các bài sau chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp các hình chiếu vuông góc mà các
hình biểu diễn đảm bảo tính phản chuyển được gọi là đồ thức .
========================
3
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âiãm
Bài 1
ĐIỂM
I. ĐỒ THỨC CỦA ĐIỂM
I.1 Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc
a) Cách xây dựng
Trong không gian cho hai mặt phẳng P1 và P2 vuông góc nhau, để dễ hình dung đặt P1 nằm
ngang, P2 thẳng đứng. Ta nhận được hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc (hình 1.1)
(I)
(II)
P2
A2
Cao>0, xa >0
A2
A1
Cao>0, xa <0
AX
x
AX
x
(III)
Cao<0, xa <0
A1
(IV)
Cao<0, xa >0
P1
Hình 1.1
Xét một điểm A bất kỳ trong không gian.
Hình 1.2
_ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên P1 và P 2 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2
_ Quay mp P1 quanh trục x một góc 900 theo chiều mũi tên qui ước như (hình 1.1) đến trùng
P2. Vì mp (A A1 A2) ⊥ P1 và P2 nên sẽ vuông góc với trục x tại điểm AX. Do đó sau khi
quay đến vị trí mới ba điểm A1, AX, A2 thẳng hàng và vuông góc trục x (hình1.2)
b) Các định nghĩa
_ P1
Mặt phẳng hình chiếu bằng
_ P2
Mặt phẳng hình chiếu đứng
_ x = P1 ∩P2
_ A1
Trục hình chiếu
Hình chiếu bằng của điểm A
_ A2
Hình chiếu đứng của điểm A
_ A1 A2 ( ⊥ x)
_ A1 Ax
_ A2 Ax
_ (A1, A2 )
Đường gióng
Độ xa của điểm A, qui ước dương nếu A1 nằm phía dưới trục x
Độ cao của điểm A, qui ước dương nếu A2 nằm phía trên trục x
Cặp điểm hình chiếu này gọi là đồ thức của điểm A.Thật vậy từ A1, A2 ta
có thể dựng lại được điểm A theo thứ tự ngược lại với cách dựng đồ thức
của nó
Hệ thống P1 và P 2 chia không gian ra làm 4 góc phần tư:
_ Góc phần tư 1 - Là phần không gian nằm trên P1 và trước P2
_ Góc phần tư 2 - Là phần không gian nằm trên P1 và sau P2
_ Góc phần tư 3 - Là phần không gian nằm dưới P1 và sau P2
_ Góc phần tư 4 - Là phần không gian nằm dưới P1 và trước P2
+ Mặt phẳng phân giác 1. Là mặt phẳng phân giác của P1 và P2 đi qua góc phần tư thứ 1 và góc
phần tư thứ 3.
Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác1 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình
chiếu bằng đối xứng nhau qua trục hình chiếu x
4
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âiãm
+ Mặt phẳng phân giác 2. Là mặt phẳng phân giác của P1 và P2 đi qua góc phần tư thứ 2 và góc
phần tư thứ 4.
Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác 2 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình
chiếu bằng trùng nhau
(Hình 1.3) là hình không gian biểu diễn mặt phẳng phân giác 1, mặt phẳng phân giác 2 và các
góc phần tư của hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc P1 và P2
Phân giác 2
Phân giác 1
P2
P2
A
A2
P1
x
A
x
P1
Hình 1.3
Hình 1.4
Nếu ta đặt trục hình chiếu x vuông góc với mặt phẳng của tờ giấy thì hệ thống hai mặt phẳng
hình chiếu P1 , P2 và hai mặt phẳng phân giác 1, 2 được biểu diễn như (hình 1.4)
Tóm lại
Đồ thức của một điểm trong không gian là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình chiếu bằng có
thể phân biệt hoặc trùng nhau
I.2 Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc
a) Cách xây dựng
Thêm vào mặt phẳng P3 vuông góc với P1 và P2 , thường P3 đặt phía bên phải người quan sát, ta
nhận được hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc như (hình 1.5)
z
z
A2
Az
Az
P2
A3
Ay
A2
Ax
P3
A3
Ax
y’
0
0
45
’
Ay
A1
A1
Ay
P1
Hình 1.5
Gọi y = P1 ∩ P3 ; z = P 2 ∩P3
y
Hình 1.6
Xét một điểm A bất kỳ trong không gian.
_ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên các mặt phẳng P1, P2 , P3 ta nhận được các hình chiếu
A1 , A2, A3 .
_ Quay các mp P1 , P3 lần lượt quanh các trục x, trục z một góc 900 theo chiều mũi tên qui ước
như (hình 1.5). Trục y được tách ra làm hai phần, một phần trục y theo mp P1 đến trùng với trục
5
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âiãm
z, một phần trục y’ theo mp P3 đến trùng với trục x. Sau khi quay ta nhận được hình biểu diễn
như (hình1.6)
b) Các định nghĩa
_ P3
Mặt phẳng hình chiếu cạnh
_ A2 Az Độ xa cạnh của điểm A, qui ước dương nếu A2 nằm phía bên trái trục z
_ A3
Hình chiếu cạnh của điểm A
¾ Chú ý
_ A2 Az = 0 Ay’ = 0 Ay = AxA1
_ Vì hai hình chiếu biểu diễn đồ thức của một điểm nên ta dễ dàng vẽ được hình chiếu thứ ba
của điểm đó
Ví dụ
Cho đồ thức của điểm B (B1, B2) (hình 1.7a). Hãy vẽ hình chiếu thứ ba của điểm B.
B3
B2
B1
B2
B
BZ
BY
x
x
y’
By’
y
Hình 1.7a
Hình 1.7b
Hình chiếu cạnh B3 của điểm B được vẽ theo chiều mũi tên như (hình 1.7b) ,với 0By'= 0By
II. Quan hệ giữa toạ độ Đềcác và đồ thức của một điểm trong không gian
Nếu lấy ba mặt phẳng hình chiếu P1, P2, P3 làm ba mặt phẳng toạ độ Đềcác; ba trục hình chiếu x,
y, z làm ba trục toạ độ Đềcác (hình 1.8)
z
Với điểm A (xA , yA, zA) bất kỳ trong không gian, ta có:
A’
_ Hoành độ
_ Tung độ
_ Cao độ
Như vậy
xA = 0Ax : Độ xa cạnh của điểm A
yA = AxA1 : Độ xa của điểm A
zA = A1 A : Độ cao của điểm A
P 2
P 3
z
A 0
xA
Ax
y
Nếu cho toạ độ Đềcác của một điểm trong không
gian thì ta dễ dàng vẽ được đồ thức cuả điểm đó.
x
A1
Hình 1.8 1
yA
P
Ví dụ
Cho toạ độ Đềcác của các điểm A (2, 3, 4); B
(4, -2, -5). Hãy vẽ đồ thức của chúng.
Đồ thức của các điểm A, B được biểu diễn như
(hình 1.9), chú ý chiều dương của các trục x, y,
z .
y- z+
y- z+
+4
A2
A
Az
B1
-2
BZ
x+
x-
x+
B
X +4
x-
X +2
Trong đó:
OAx = +2; OAY = +3; OAZ = +4
OBx = +4; OBY = -2; OBZ = -5
+3
AY
y+ z-
-5
B2
BY
y+ z-
Hình 1.9
III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN
6
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âiãm
Ví dụ 1
Hãy vẽ đồ thức của các điểm sau:
_ Điểm A thuộc mặt phẳng P1
_ Điểm B thuộc mặt phẳng P2
_ Điểm C thuộc mặt phẳng Phân giác 1
_ Điểm D thuộc mặt phẳng Phân giác 2
_ Điểm E thuộc trục hình chiếu x
Giải
_ Điểm A thuộc mặt phẳng P1 nên có A1≡ A; A2∈ x
_ Điểm B thuộc mặt phẳng P2 nên có B2≡ B; B1∈ x
_ Điểm C thuộc mặt phẳng phân giác 1 nên có C1và C2 đối xứng nhau qua trục x
_ Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác 2 nên có D1≡ D2
_ Điểm E thuộc trục hình chiếu x nên có E1≡ E2∈ x ; (Hình 1.10)
F2
F1
F3
z
B2
FY
GY
G1
C2
C1
E1≡E2
D1≡D2
B1
HY ’
H3
FY ’
x
x
o
y’
GY ’
G3
H2
H1
A1
G2
FY
y
Hình 1.10
Hình 1.11
Ví dụ 2
Cho đồ thức của các điểm F, G, H (hình 1.11). Hãy vẽ hình chiếu cạnh của chúng và cho biết
chúng thuộc góc phần tư thứ mấy?
Giải
Hình chiếu cạnh của các điểm F, G, H được vẽ theo chièu mũi tên bắt đầu đi từ hình chiếu bằng
F1, G1, H1 tiếp theo là mũi tên đi qua hình chiếu đứng F2, G2, H2. Ta sẽ xác định được các hình
chiếu cạnh F3, G3, H3 ; (Hình 1.11)
_ Điểm F có độ cao dương, độ xa âm nên điểm F thuộc góc phần tư thứ 2
_ Điểm G có độ cao âm, độ xa âm nên điểm G thuộc góc phần tư thứ 3
_ Điểm H có độ cao âm, độ xa dương nên điểm H thuộc góc phần tư thứ 4
================
7
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âæång thàng
Bài 2
ĐƯỜNG THẲNG
I. ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Đồ thức của đường thẳng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng đó.
Giả sử đường thẳng d được xác định bởi hai điểm A(A1, A2) và B (B1, B2) thì :
Hai điểm A1, B1 xác định hình chiếu bằng d1 của đường thẳng d
Hai điểm A2, B2 xác định hình chiếu đứng d2 của đường thẳng d (hình 2.1)
B2
d2
A2
d2
x
x
d1
d1
B1
A1
Hình 2.1
Hình 2.2
Nếu d là đường thẳng thường (d1, d2 không vuông góc trục hình chiếu x ), thì khi biểu diễn đồ
thức của đường thẳng d không cần biểu diễn hai điểm thuộc nó (hình 2.2) .
¾ Chú ý
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác1 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng dối
xứng nhau qua trục hình chiếu x
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác 2 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng
trùng nhau
II. CÁC VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
II. 1 Loại đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu
1) Đường bằng (h)
a) Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi h là đường bằng, ta có: h // P1 (hình 2.3a)
B2
A2
h2
B2
P
x
h2
A2
h
B
β
A
x
β
β
h1
A1
A1
B1
B1
Hình 2.3b
P
Hình 2.3a
h1
b) Tính chất:
• Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x : h2 // x (hình 2.3b)
8
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âæång thàng
• Hình chiếu bằng của đường bằng hợp với trục x một góc bằng góc của đường bằng hợp với
mặt phẳng hình chiếu đứng : ∠(h1 , x) = ∠ (h , P2) = β
• Hình chiếu bằng của một đoạn thẳng thuộc đường bằng, bằng chính nó.
Giả sử A, B ∈ h ⇒ A1 B1 = AB (hình 2.3b)
2) Đường mặt (f)
a) Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng:
Gọi f là đường mặt, ta có: f // P2 (hình 2.4a)
f2
f2
D2
D2
f
D
P2
C2
C2
α
α
C
f1
α
D1
f1
C1
D1
C1
Hình 2.4b
P1
Hình 2.4a
b) Tính chất
• Hình chiếu bằng của đường mặt song song với trục x : f1 // x (hình 2.4b)
• Hình chiếu đứng của đường mặt hợp với trục x một góc bằng góc của đường mặt hợp với
mặt phẳng hình chiếu bằng : ∠(f2 , x) = ∠(f , P1) = α
• Hình chiếu đứng của một đoạn thẳng thuộc đường mặt, bằng chính nó.
Giả sử C, D ∈ f ⇒ C2 D2 = CD (hình 2.4b)
3) Đường cạnh (p)
a) Định nghĩa:
Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh: p // P3 (hình 2.5a)
z
p2
E2
β
z
β
E3
P2
E3
P3
E
2 β
E
P3
p2
F2
P3
F3
F3
α
P
F
0
2
F
0
x
y’
E
α
1 p1
E1
F1
y
F
1 α
P
y
p1
Hình 2.5a
Hình 2.5b
b) Tính chất
• Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh, trùng nhau và vuông góc với trục x:
p1 ≡ p2 ⊥ x . Hai hình chiếu này chưa biểu diễn được một đường cạnh cụ thể trong không
gian. Vì vậy để biểu diễn một đường cạnh cụ thể ta cần phải biểu diễn đồ thức của hai điểm
thuộc đường cạnh đó; (hình 2.5b) biểu diễn đường cạnh p được xác định bằng hai điểm E, F
• Hình chiếu cạnh của đường cạnh lần lượt hợp với trục y’, z các góc bằng góc của đường
cạnh hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng :
∠(p3 , y’) = ∠(p , P1 ) = α
9
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
∠(p3 , z) = ∠(p , P2) = β
Âæång thàng
•
Hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng thuộc đường cạnh, bằng chính nó.
Giả sử E, F ∈ p ⇒E 3 F3 = EF (hình 2.5b)
II.2 Loại đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu
(thì song song với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại )
1) Đường thẳng chiếu bằng (d)
a) Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng: d⊥P1
(Hình 2.6a )
d2
d2
d
A2
B2
P2
A2
B2
A
B
x
A≡B≡d
P1
Hình 2.6a
≡B≡d
Hình 2.6b
b) Tính chất
• Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng suy biến thành một điểm: d1 một điểm
• Đường thẳng chiếu bằng vừa là đường mặt vừa là đường cạnh nên có những tính chất của hai
loại đường này, tức:
- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng vuông góc với trục x:: d2 ⊥ x
- Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu bằng, bằng
nhau và bằng chính nó. Giả sử A, B ∈ d ⇒ A2 B2 = A3 B3 = AB ; (hình 2.6b)
2) Đường thẳng chiếu đứng (k)
a) Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng.
Gọi k là đường thẳng chiếu đứng, ta có: k ⊥P2 (Hình 2.7a )
C2 ≡ D2≡ k2
P2
x
C2 ≡ D2≡ k2
k
C
C1
D
D
D1
k1
C1
P1
k1
Hình 2.7a
Hình 2.7b
b) Tính chất:
• Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm: k2 một điểm
• Đường thẳng chiếu đứng vừa là đường bằng vừa là đường cạnh nên có những tính chất của
hai loại đường này, tức:
- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng vuông góc với trục x: : k1⊥ x
10
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âæång thàng
- Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng
nhau và bằng chính nó. Giả sử C, D ∈ k ⇒ C1 D1 = C3 D3 = CD (hình 2.7b)
3) Đường thẳng chiếu cạnh (l)
a) Định nghĩa
Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
Gọi l là đường thẳng chiếu cạnh, ta có: l ⊥P3 (Hình 2.8a )
z
z
E3 ≡F3 ≡l3
F2
E2
l2
P2
F2
E2
l2
F
E
E3≡ F3≡l3
y'
l
0
x
0
x
P3
y
l1
l1
F1
E1
P1
E1
F1
y
Hình 2.8a
Hình 2.8b
b) Tính chất:
- Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành một điểm: l3 - một điểm
• Đường thẳng chiếu cạnh vừa là đường bằng vừa là đường mặt nên có những tính chất của hai
loại đường này, tức:
- Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu cạnh song song nhau và song
song với trục x: l1 // l2 // x .
- Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu cạnh bằng
nhau và bằng chính nó: Giả sử E, F ∈ l ⇒ E1 F1 = E2 F2 = EF (hình 2.8b)
III. SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Sau đây sẽ trình bày hai định lý không chứng mimh
1) Điểm thuộc đường thẳng thường
Đường thẳng thường là đường thẳng không phải là đường đường cạnh
Định lý
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một đường thẳng thường là các hình chiếu cùng tên của
điểm và đường thẳng đó thuộc nhau
Cho điểm A(A1, A2) và đường thẳng d(d1, d2),
(hình2.9); định lý trên được viết dưới dạng:
A2
d2
x
A ∈d
⎧
⎨
⎩
1
1
A∈d ⇔
d1
A2 ∈d2
A1
Hình 2.9
2) Điểm thuộc đường cạnh
Định lý
Điều kiện cần và đủ để điểm C thuộc đường cạnh AB là tỉ số đơn của ba điểm A, B, C trên các
hình chiếu bằng nhau .
Cho điểm C (C1, C2) và đường cạnh AB (A1B1, A2B2), định lý trên được viết dưới dạng:
11
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âæång thàng
C ∈ AB ⇔ (A1 B1 C1) = (A2 B2 C2)
Ví dụ
Cho đường cạnh AB (A1B1, A2B2) và hình chiếu đứng C2 của điểm C; (hình 2.10). Hãy vẽ hình
chiếu bằng C1 của điểm C biết C∈ AB .
Để vẽ điểm C1 ta thực hiện như sau:
_ Vẽ tia A1t bất kỳ, đặt trên đó các điểm C’, B’sao cho: A1 C’ = A2C2 ; C’B’ = C2B2
_ Nối B’B1
_ Đường thẳng vẽ qua điểm C’song song với
B2
phương B’B1 cắt đường thẳng A1B1 tại điểm C1 là
điểm cần vẽ;
Thật vậy, theo định lý Thalet, ta có:
C2
(A1B1C1) = (A1B’C‘)
Mà (A1B’C‘) = (A2B2C2) ⇒ (A1B1C1) = (A2B2C2)
thoả mãn định lý trên ; (Hình 2.10)
A
A
Hình 2.10
C’
C1
B1
B’
3) Vết của đường thẳng
Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu
a) Vết bằng (M)
_ Định nghĩa:
Vết bằng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi M là vết bằng của đường thẳng d, ta có: M = d ∩ P1 ( Hình 2.11a)
_ Tính chất
+ Hình chiếu bằng của vết bằng trùng với chính nó : M1 ≡ M
+ Hình chiếu đứng của vết bằng thuộc trục x :
M2 ∈ x ( Hình 2.11b)
N2
N2≡N
P2
d2
d2
d
x
M2
x
M2
N1
N1
d1
M1≡M
d1
P1
M1
Hình 2.11a
Hình 2.11b
b) Vết đứng (N)
_ Định nghĩa
Vết đứng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi N là vết đứng của đường thẳng d, ta có: N = d ∩ P2 ; ( Hình 2.11a)
_ Tính chất
+ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó : N2 ≡ N
+ Hình chiếu bằng của vết đứng thuộc trục x :
N1 ∈ x ; (hình 2.11b)
12
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âæång thàng
IV.PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC
Phương pháp tam giác dùng để xác định độ dài thật của một đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn
thẳng đó tạo với mặt phẳng hình chiếu
Giả sử có đoạn thẳng AB, chiếu vuông góc nó xuống P1 được A1B1; (hình 2.12).
Kẽ AC // A1B1
Trong tam giác vuông ACB, ta có: AC = A1B1 và BC = ⏐BB1 - AA1⏐: Hiệu độ cao của A, B.
Với nhận xét này ta có thể vẽ được độ dài thật của đoạn thẳng AB như sau:
“Vẽ một tam giác vuông có một cạnh góc vuông A1B1 là hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB,
cạnh góc vuông còn lại B1B0 bằng hiệu độ cao hai đầu mút A, B; thì cạnh huyền A1B0 là độ dài
thật của đoạn thẳng cần tìm và góc nghiêng α = (B0A1B1) là góc của đoạn thẳng AB hợp với
mặt phẳng hình chiếu bằng “.
B
B2
B2
C
α
x
B
α
B
B0
A
Hình 2.12
P1
Hình 2.13
Phương pháp xác định độ dài thật của đoạn thẳng AB và góc nghiêng của đoạn thẳng đó tạo với
mặt phẳng hình chiếu bằng P 1 đã nêu ở trên gọi là phương pháp tam giác.
Tương tự, ta cũng có thể xác định được độ dài thật của đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn
thẳng tạo với mặt phẳng hình chiếu đứng; bằng cách vẽ một tam giác vuông có một cạnh góc
vuông là hình chiếu đứng của đoạn thẳng, cạnh góc vuông còn lại bằng hiệu độ xa của hai đầu
mút đoạn thẳng đó
N2
V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN
B2
I2
C2
Ví dụ 1
A2
Cho đường thẳng AB. Hãy xác định:
a) Vết bằng, vết đứng của đường thẳng AB
b) Điểm C trên đường thẳng AB có độ cao gấp đôi độ xa
M2
x
N1
B1≡ I1
C1
Hình 12.14
Giải
A1
a) Gọi M, N lần lượt là vết bằng và vết đứng của đường
thẳng AB, ta có :
M1
_ M2 = A2B2 ∩ x ⇒ M1 ∈A1B1- là vết bằng của AB
_ N1 = A1B1 ∩ x ⇒ N2 ∈ A2B2 - là vết đứng của AB
b) Gọi I là điểm có độ cao gấp đôi độ xa và B1≡ I1. Đường thẳng N1I2 cắt A2B2 tại điểm C2 là
hình chiếu đứng của điểm C cần tìm.
Từ C2∈ A2B2 ⇒ C1∈ A1B1 ; (Hình 2.14)
13
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âæång thàng
Ví dụ 2
Cho điểm A(A1, A2) và hình chiếu đứng B2 của điểm B. Hãy xác định hình chiếu bằng của điểm
B trong các trường hợp sau:
a) Biết AB có độ dài l = 30 mm
b) Biết AB hợp với P1 góc α < 900
c) Biết AB hợp với P2 góc β < 900
Giải
a) Vẽ tam giác vuông A1A0B’ vuông tại A1 có một cạnh góc vuông A1A0 bằng hiệu độ cao của
hai điểm A, B; cạnh huyền A0B’ = AB = 30mm.
Theo phương pháp tam giác thì cạnh góc vuông còn lại A1B’ bằng hình chiếu bằng A1B1 của
AB. Như vậy B1 là giao điểm của đường tròn (A1, A1B’) với đường gióng qua B2 ;
(Hình 2.15a)
B0
B2
B2
B2
A2
A1
A2
β
A2
A1
x
x
x
B’
B’
B1
B’
B1
A1
900-α
A0
A0
H
l= 30 mm
B1
B’
B’
Hình 2.15a
Hình 2.15b
Hình 2.15c
b) Vẽ tam giác vuông A1A0B’ vuông tại A1 có một cạnh góc vuông A1A0 bằng hiệu độ cao của
hai điểm A, B. Vì ∠(AB, P1 ) = α nên theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A0B’ hợp với
cạnh A1A0 góc 900 - α và cạnh góc vuông còn lại A1B’ bằng hình chiếu bằng A1B1 của AB.
Như vậy B1 được vẽ là giao điểm của đường tròn (A1, A1B’) với đường gióng qua B2;
(Hình 2.15b)
c) Vẽ tam giác vuông A2B2B0 vuông tại B2 có một cạnh góc vuông A2B2. Vì ∠(AB, P2 ) = β nên
theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A2B0 hợp với cạnh A2B2 góc β và cạnh góc vuông
còn lại B2B0 bằng hiệu độ xa của hai điểm A, B, tức: B2B0= HB1 = HB’1; (Hình 2.15c)
Ví dụ 3
Cho điểm A(A1, A2). Hãy vẽ đường thẳng đi qua điểm A và nghiêng với mpP1 , mpP2 lần lượt
các góc nhọn α, β như hình 2.16a
Giải
_ Giả sử có đoạn thẳng AB nghiêng với mpP1 , mpP2 lần lượt các góc α, β.
14
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Âæång thàng
_ Giữa hình chiếu đứng A2B2, hiệu độ xa của A,B; độ dài thật của AB và góc nghiêng của AB
hợp với mpP2 liên quan nhau bởi tam giác vuông A2B2B0 ; (Hình 2.16b)
_ Giữa hình chiếu bằng A1B1, hiệu độ cao của A,B; độ dài thật của AB và góc nghiêng của AB
với mpP1 liên quan nhau bởi tam giác vuông A1B1B0 ; (Hình 2.16b)
B2’’
B2’
t’
t
A2
B2
B2’’’
B1’’
B2
x
A1≡A2
B0
B1’
B1
B1
A1
c)
B1’’’
a)
b)
Hình 2.16
_ Từ (Hình 2.16b), ta vẽ đồ thức của điểm B ở (Hình 2.16c) như sau:
+ Vẽ hai đường thẳng t, t’ // x và cách A2 đoạn bằng B1B0 (hiệu độ cao của A, B)
+ Vẽ đường tròn (A2, A2B2), cắt t, t’ tại 4 điểm B2, B2’, B’’1, B’’’2 là các hình chiếu đứng của
các điểm B cần dựng
+ Đường tròn (A1, A1B1), cắt các đường gióng qua các điểm B2, B2’, B’’2, B’’’2 tại 4 điểm B1,
B1’, B’’1, B’’’1 là các hình chiếu bằng của các điểm B cần dựng; (Hình 1.16c)
_ Bài toán có 4 nghiệm
(Để hiểu kỹ hơn hãy tham khảo thêm bai số17* sách “BÀI TẬP HÌNH HOẠ GIÃI SẴN” của tác giả
Nguyễn Độ)
=====================
15
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Vë trê tæång âäi giæa hai âæång thàng
Bài 3
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG
Ttrong không gian, hai đường thẳng có các vị trí tương đối: giao nhau, song song và chéo nhau
I. HAI ĐƯỜNG THẲNG GIAO NHAU
1) Hai đường thẳng thường giao nhau
Đường thẳng thường là đường thẳng không phải là đường cạnh 35
Định lý
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường giao nhau là các hình chiếu cùng tên của chúng
giao nhau tại các điểm nằm trên một đường gióng
Cho hai đường thẳng a,b (hình 3.1), định lý trên được viết thành:
a2
I2
a
⎧
⎪
⎨
∩
=
I1
=
b
b2
b1
1
1
∩ =
a b I
⇔
∩
a2 b2 I2
I I
1
x
⎪
⊥
x
⎩
2
I1
a1
Hình 3.1
2) Một đường thẳng thường và một đường cạnh giao nhau
Định lý
Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng thường và một đường cạnh giao nhau là các hình chiếu
cùng tên của chúng giao nhau tại các điểm thoả mản đồ thức của điểm thuộc đường cạnh đó
Cho đường thẳng thường d và đường cạnh AB,
A2
định lý trên được viết thành:
I2
J2
d2
⎧
∩
=
d1 A B1 I1
x
B2
1
⎪
⎨
A1
I1
∩
=
∩
=
d
AB I
d2 A2B2 I2
⇔
⎪
=
(A B I ) (A B I )
⎩
I’
1
1 1
2
2 2
d1
B’
t
Hçnh 3.2
B1
J1
Ví dụ
Cho đường cạnh AB và hình chiếu đứng d2 của đường thẳng d. Hãy vẽ hình chiếu bằng d1 của
đường thẳng d, biết d đi qua điểm J và cắt AB tại điểm I
Giải
Hình chiếu bằng I1 của điểm I ∈ AB được vẽ bằng cách ứng dụng định lý Thalet như sau:
_ Vẽ tia A1 t bất kỳ rồi đặt lên đó các đoạn A1I’ = A2I2 và I’B’ = I2B2
_ Nối B’B1
Đường thẳng qua I’ song song với B’B1 cắt A1B1 tại điểm I1; ta có:(A1B1I1 ) = (A2B2I2 )
⇒ I∈ AB. Vậy d1 ≡ I1J1 (Hình 3.2)
16
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Vë trê tæång âäi giæa hai âæång thàng
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1) Hai đường thẳng thường song song
Định lý
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường song song nhau là các cặp hình chiếu cùng tên
của chúng song song nhau
Cho hai đường thẳng thườg a,b; (hình 3.3),
định lý trên được viết thành:
a2
b2
x
a // b
⎧
⎨
⎩
b1
a1
1
1
a // b ⇔
a2 // b2
Hçnh 3.3
Chứng minh
_ Điều kiện cần: Giả sử a // b nên các cặp mặt phẳng chiếu qua a, b song song nhau, do đó
chúng sẽ cắt mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng theo các cặp giao tuyến
song song nhau, tức là a1 // b1 và a2 // b2 .
_ Điều kiện đủ: Giả sử có hai đường thẳng thường a, b thoả mãn a1 // b1 và a2 // b2. Bằng cách
xây dựng ngược lại phép chiếu vuông góc, cặp mặt phẳng song song vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu bằng qua a1, b1 sẽ cắt cặp mặt phẳng song song vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
đứng qua a2, b2 theo hai giao tuyến a, b song song nhau .
3) Hai đường cạnh song song
Xét hai đường cạnh có các cặp hình chiếu cùng tên không trùng nhau
Định lý
“Điều kiện cần và đủ để hai đường cạnh song song nhau là có hai đường thẳng tựa trên chúng
giao nhau hoặc song song nhau “
Cho hai dường cạnh EF và GH,
định lý trên được viết thành:
z
E3
E2
F2
E2
F2
E1
F1
G3
G2
H2
I2
G2
H2
H3
y'
F3
0
x
x
EH∩GF=I
EH//GF
⎡
E1
F1
EF//GH⇔
⎢
⎣
G1
H1
G1
H1
I1
y
Hình 3.4
Hình 3.5
Chứng minh
_ Điều kiện cần: Giả sử EF // GH, thì bốn điểm E, F, G, H đồng phẳng nên sẽ có hai đường
thẳng EH, GF tựa trên chúng giao nhau tại I hoặc song song nhau (ở đây xét giao nhau)
_ Điều kiện đủ: Giả sử có hai đường cạnh EF, GH có các cặp hình chiếu cùng tên không trùng
nhau và có hai đường thẳng tựa trên chúng EH ∩ GF = I hoặc EH // GF. Thì bốn điểm E, F, G, H
đồng phẳng nên hai đường cạnh đó song song nhau, tức: EF // GH (Hình 3.4)
¾ Chú ý
Ngoài ra ta có thể phát biểu định lý trên như sau:
“Điều kiện cần và đủ để hai đường cạnh song song nhau là hình chiếu cạnh của chúng song
song nhau “ (Hình 3.5)
17
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Vë trê tæång âäi giæa hai âæång thàng
Ví dụ
Cho đường cạnh AB và điểm M; (Hình 3.6). Hãy vẽ đường thẳng MN // AB
Giải
Vì AB là đường cạnh nên MN // AB cũng là đường cạnh. Trong mp(MAB), vẽ N thoả mãn
MN // AB, giả sử biết trước N2 hãy vẽ N1 như sau:
Gọi I = AN ∩ BM ⎭ I2 ∈ B2M2 Mà N2 ∈ A2 I2 ⎭ N1 ∈ A1 I1
I1 ∈ B1M1
A2
B2
A1
B1
c2
d2
I2
M2
N2
x
x
c1
M1
I1
Hçnh 3.6
d1
Hçnh 3.7
N1
III. HAI ĐỪƠNG THẲNG CHÉO NHAU
Hai đường thẳng không thoả mãn song song hoặc giao nhau thì chéo nhau; (Hình 3.7) biểu diễn
hai đường thẳng c, d chéo nhau.
IV. HÌNH CHIÊÚ CỦA GÓC VUÔNG
Định lý
“Điều kiện cần và đủ để một góc vuông chiếu xuống mặt phẳng hình chiếu thành một góc vuông
là góc vuông đó có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu và cạnh góc vuông còn lại
không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đó.”
B2
B
d2
c2
x
O
A
A2
A1
O
x
c1
B1
A
B1
O1
Hình 3.8
P
d1
O1
Hình 3.9
Hình 3.10
Chứng minh
_ Điều kiện cần: Giả sử có ∠AOB = 900 và OA // P1 . Chiếu vuông góc xuống mặt phẳng hình
chiếu bằng ta nhận được ∠A1O1 B1 (Hình 3.8), cần chứng minh ∠A1O1B1= 900
Ta có:
Mà
A1O1 // AO
AO ⊥ OB và AO ⊥ OO1 ⇒ AO ⊥mp(B OO1) ⇒ AO ⊥ O1B1
A1O1 // AO ⇒ A1O1 ⊥ O1B1
_ Điều kiện đủ : Giả sử ∠AOB = 900 chiếu vuông góc xuống mặt phẳng hình chiếu bằng được
góc ∠A1O1B1= 900, ta cần chứng minh góc vuông AOB có một cạnh song song mặt phẳng hình
chiếu bằng P1; ta có : A1O1 ⊥ mp(OO1B1)
(1)
18
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Bai giang HÇNH HOA
Vë trê tæång âäi giæa hai âæång thàng
(2)
B1O1 ⊥ mp(OO1A1A) ⇒ B1O1 ⊥ AO⎫
Mà B O ⊥ AO⎭ ⇒ AO ⊥ mp(OO1 B1)
Từ (1) và (2), ⇒ AO // A1O1 , tức AO // mp(P1)
(Hình 3.9) biểu diễn đồ thức của góc vuông AOB, có cạnh OA // mp(P1).
¾ Chú ý
Định lý trên cũng đúng cho trường hợp hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc với nhau.
(Hình 3.10) biểu diễn hai đường thẳng c, d chéo nhau mà vuông góc nhau, với c // P1
Ví dụ
C2
Hãy vẽ hình chiếu bằng C1 của điểm C, biết rằng tam giác
ABC cân tại C, cho AB là đường bằng, (Hình 3.11) .
A2
B2
C1
H2
x
Giải
Gọi H là trung điểm của AB, vì tam giác ABC cân tại C nên
CH ⊥ AB, vả lại AB // mp (P1)., nên theo định lý trên, ta có
C1H1 ⊥ A1B1.
Từ đó ta vẽ được C1 là giao điểm của đường gióng qua C2 với
đường thẳng ⊥ A1B1 tại H1
A1
H1
Hçnh 3.11
B1
V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN
a2
B2
Ví dụ 1
Cho ba đường thẳng a, b, c chéo nhau; (Hình 3.12). Hãy vẽ
đường thẳng d song song với c cắt cả a và b; trong đó a ⊥ mp (P1)
A2
d2
c2
b2
Giải
x
Giả sử đường thẳng d cần dựng cắt a, b lần lượt tại A, B. Vì a ⊥
mp (P1) nên A1≡ a1. Vả lại d // c nên d1 qua A1 và d1 // c1
Vì d ∩ b = B; từ d1 ∩ b1 = B1 ⇒ B2∈ b2
b1
a1≡A1
B1
d1
c1
Vẽ d2 qua B2 và d2 // c2; (Hình 3.12)
Vậy d là đường thẳng thẳng cần vẽ
Hình 3.12
Ví dụ 2
Cho hai đường thẳng AB, CD chéo nhau; (Hình 3.13). Hãy xác định khoảng cách và dựng đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó trong các trường hợp sau đây:
a) CD⊥ mp (P1); AB là đường thẳng thường
b) CD⊥ mp (P2); AB là đường cạnh
c) CD⊥ mp (P3); AB là đường thẳng thường
Giải
a) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD, với N ∈ AB, M ∈ CD
Vì CD⊥ mp (P1) nên M1 ≡ C1≡ D1và MN là đoạn đường bằng
Vả lại MN ⊥AB ⇒ M1N1 ⊥A1B1 tại N1. Từ N1∈ A1B1⇒ N2∈ A2B2 ⇒ M2N2 // x; (Hình 3.13a)
Kết luận: M1N1 = MN - là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD chéo nhau
b) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD, với N ∈ AB, M ∈ CD
Vì CD⊥ mp (P2) nên M2 ≡ C2≡ D2và MN là đoạn đường mặt
Vả lại MN ⊥AB ⇒ M2N2 ⊥A2B2 tại N2. Từ N2∈ A2B2⇒ N1∈ A1B1 ⇒ M1N1 // x; (Hình 3.13b)
19
GVC.ThS Nguyãn Âä
Khoa Sæ pham Ky thuát- ÂHBK
Tải về để xem bản đầy đủ
91 trang
25960
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Hình họa - Nguyễn Độ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_hinh_hoa_nguyen_do.pdf
