Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian vectơ (TT)

Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ môn Toán ứng dụng

------------------------------------------------------

Ñaïi soá tuyeán tính

Chöông 4: KHOÂNG GIAN VEÙCTÔ (tt)

Giaûng vieân TS. Ñaëng Vaên Vinh

www.tanbachkhoa.edu.vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Toạ độ của véctơ.

II – Không gian con.

III - Tổng và giao của hai không gian con.

I. Toạ độ của véctơ

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa toạ độ của véctơ

Cho E ={e₁, e₂, …, e_n} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V

 x  x₁e₁ x₂e₂... x_ne_n



x



V

(x ,x ,...,x )

Bộ số

cơ sở E.

được gọi là tọa độ của véctơ x trong

1 2

n

x

 

1

 

x₂

 

[x]_E



 

x

 

n

I. Toïa ñoä cuûa veùctô

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho E {x² x 1;x² 2x 1;x² x  2}

là cơ sở của không gian

P [x]

3

 

2

 

[ p(x)]  5

Tìm véctơ p(x), biết toạ độ trong cơ sở E là

E

 

2

 

3

 

 

[ p(x)]_E 5

 

2

 

 p(x)  3(x² x 1) 5(x² 2x 1)  2(x² x  2)

 p(x)  5x  2

I. Toïa ñoä cuûa veùctô

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

là cơ sở của R₃và x = (3,1,-2)

Cho E {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)}

là một véctơ của R₃. Tìm toạ độ của véctơ x trong cơ sở E.

x

 

1

 

[x]_E x₂

 x  x₁e₁ x₂e₂ x₃e₃

Giả sử

 

x

 

3

 (3,1,2)  x₁(1,1,1)  x₂(1,0,1)  x₃(1,1,0)

x  x  x  3

4







 

1

2

3

 

x₁ x₃ 1  [x]_E 2

 



x₁ x₂ 2

5



 

I. Toïa ñoä cuûa veùctô

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho E {x ² x 1;x 1;2x 1} laøcô sôûP [x ].

2

Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x²+4x-1 trong cơ sở E.

a

 

 

[ p(x)]_E b

 p(x)  a.e₁ b.e₂ c.e₃

Giả sử

 

c

 

 3x² 4x 1 a(x² x 1)  b(x 1)  c(2x 1)

a

 3

3







 

 

a  b  2c  4  [p(x)]  9

E

 



a  b  c  1

5



 

I. Toïa ñoä cuûa veùctô

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tọa độ véctơ

x

y

 

1

 

1

 

y₂

x₂

 

[x]_E

[y]_E



 

x

y

 

n

x  y

x  y







₁

1



²





x  y

x₂ y



2

1. x  y 

2. [x  y]_E















x  y

x  y



_n

n

x

 

1

 

x₂

 

3. [x]_E



 

x

 

n

I. Toïa ñoä cuûa veùctô

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Ý nghĩa của toạ độ véctơ.

Trong không gian n chiều V cho một cơ sở

E ={e₁, e₂, …, e_n}.

Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.

Hai phép toán cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một

số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp.

Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép toán này giống

hoàn toàn trong R_n.

Suy ra cấu trúc của không gian vectơ V hoàn toàn giống R_n.

Chứng minh được V và R_nđồng cấu với nhau, vậy nên trong

nghiên cứu ta đồng nhất V và R_n.

Tất cả các không gian n chiều đều coi là R_n.

I. Toïa ñoä cuûa veùctô

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho M {x² x 1;3x² 2x 1;2x² x} laøtaäp con cuûaP [x].

2

Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.

2

Chọn cơ sở chính tắc của P₂[x] là

.

E  {x , x,1}

1

 

3

2

 

2

 

2

 

[x  x 1]_E 1

[3x  2x 1]_E 2 [2x  x]_E 1

 

1

 

1

0

 

Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ.

1 3 2











Vậy M phụ thuộc tuyến tính

 r(A)  2

A  1 2 1



1 1 0



II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V là K-kgvt

TKậgpccoonn FF

Tập con F

2 phép toán trong V

K- kgvt F

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý

Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V

khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa.

1.f , g  F : f  g  F

2.f  F,   K :  f  F

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

F  (x , x , x ) R | x  2x  x  0





1 2 3

3 1

2

3

1. Chứng tỏ F là không gian con của R₃

2. Tìm cơ sở và chiều của F.

Giải câu 2.

x  (x₁, x₂, x₃) F  x₁ 2x₂ x₃ 0

 x₃ x₁ 2x₂

x  (x₁, x₂, x₃)  (x₁, x₂, x₁ 2x₂)

Khi đó

 x  x₁(1,0,1)  x₂(0,1,2)

Suy ra

là tập sinh của F.

E {(1,0,1);(0,1,2)}

Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.

 dim(F)  2

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

F  p(x) P [x]| p(1)  0 & p(2)  0





2

1. Chứng tỏ F là không gian con của P₂[x].

2. Tìm cơ sở và chiều của F.

2

 p(1)  0 & p(2)  0

 a  ;b  3;c  2

Giải câu 2. p(x)  ax  bx  c F

a  b  c  0

4a  2b  c  0

 p(x)  x² 3x  2









 p(x)  (x²3x  2)

E  {x²3x  2}

Suy ra

là tập sinh của F.

Hiển nhiên E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.

 dim(F) 1

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 1











F  AM [R]| A

 0



2





2 2





1. Chứng tỏ F là không gian con M₂[R]

2. Tìm cơ sở và chiều của F.

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

M {v₁,v₂,,v_n}V

L(M)=Span

{v₁,v₂,...,v_n}{₁v₁₂v₂_nv_n_i R}

1. L(M) là không gian con của V

2. dim(L(M)) = Hạng của họ M.

II. Không gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử dim(V) = n

Hạng M = Hạng Ma trận

M phụ thuộc tt

M độc lập tt

M {x₁, x₂,..., x_m}

Kgian con <M>

x là tổ hợp tt của M M là cơ sở của V

hạng M < m hạng M = m

hạng M = dim(V) = số vectơ trong M

hạng M = hạng M thêm vectơ x Chiều kgian con<M> = hạng M

M tập sinh của V

hạng M = dim(V)

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho

F  (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1) 

Tìm cơ sở và chiều của F.

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho

F  x² x 1,2x² 3x 1, x² 2x  2 

Tìm cơ sở và chiều của F.

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

a b a 2b

b 2a

















F 

a,bR









Tìm cơ sở và chiều của F.

II. Khoâng gian con

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 1 2 1 3 1 1 0

      



F 

,

      

2 1 0 1 2 1 2 0



      



Tìm cơ sở và chiều của F.

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian vectơ (TT) - Đặng Văn Vinh