Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Các hàm truyền

Xử lý số tín hiệu

Chương 6: Các hàm truyền

1. Các dạng mô tả tương đương của

bộ lọc số

Đáp ứng

xung h(n)

Phương trình

chập vào/ra

Xử lý khối

Phương trình

sai phâ n I/O

Hàm truyền

H(z)

Sơ đồ

cực/zero

PP thiết kế

bộ lọc

Thực hiện

sơ đồ khối

Cá c tiêu

chuẩn

Xử lý mẫu

Đáp ứng tần

số H(ω)

thiết kế

2. Các hàm truyền

5+ 2z⁻¹

Ví dụ: xét hàm truyền sau:

⚫ Từ H(z) suy ra được:

1. Đáp ứng xung h(n)

H(z) =

1−0.8z⁻¹

2. Phương trình sai phân I/O thỏa bởi h(n)

3. Phương trình chập I/O

4. Thực hiện sơ đồ khối

5. Sơ đồ cực/ zero

6. Đáp ứng tần số H(ω)

2. Các hàm truyền

⚫ Cá c dạng tương đương toá n học của hàm truyền có thể

dẫn đến cá c phương trì nh sai phâ n I/O khá c nhau và

cá c sơ đồ khối khá c nhau cùng thuật toá n xử lý mẫu

tương ứng

5+ 2z⁻¹

Ví dụ: Với hàm truyền H(z) =

Có thể viết dưới dạng:

1−0.8z⁻¹

a. Dạng 1

5+ 2z⁻¹

7.5

1−0.8z⁻¹

H(z) =

= −2.5+

1−0.8z⁻¹

b. Dạng 2

5+ 2z⁻¹

= (5+ 2z⁻¹)W(z)

1−0.8z⁻¹

3. Đáp ứng hình sine

A. Đáp ứng trạng thái ổn định

- Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω₀, dài vô hạn

₀n

x(n) = e^j

- Ngõ ra có thể xác định bằng 2 cách:

(1) Chập trong miền thời gian

+

y(n) = h(m)x(n − m) = H( )e ^{j n}

0



0

−

(2) Phương pháp miền tần số

Phổ tín hiệu vào:

X() = 2( - ₀) + (các phiên bản)

3. Đáp ứng hình sine

Phổ tín hiệu ra: (phiên bản thứ nhất)

Y() = H()X() = 2H(₀)( - ₀)

DTFT ngược:



1

y(n) =

Y()e^jnd = H(₀)e^j⁰ⁿ



2

−

Tổng quát: H() là số phức

(₀

)

H

(

₀

)

= H

(

₀

)

e^jargH

j₀n

(₀

)

e^{j n+ jargH}

H

0

e ⎯⎯→H

(

₀

)

3. Đáp ứng hình sine

⚫ Tín hiệu vào gồm 2 tín hiệu sine tần số ₁và ₂kết hợp

tuyến tính & bộ lọc tuyến tính:

j₁n

j₂n

j(₁n+arg H (₁))

H

( )

Ae + A₂e ⎯⎯→ A H ₁e

1

2

+ A₂H

(

₂

)

e^{j( n+arg H ( ))}

⚫ Tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành các

thành phần sine rồi tính ngõ ra.

3. Đáp ứng hình sine

⚫ Độ trễ pha (Phase Delay):

arg H

(



)

( )

d  = −

( ) ( )

= arg H  = −.d 



⚫ Độ trễ nhóm (Group Delay):

d

( )

d_g = − arg H ω

d

H

jn

j

(

n−d

(

))

=>

( )

e ⎯⎯→H  e

3. Đáp ứng hình sine

^{⚫ Bộ lọc có pha t}

(

^uyế

)

^{n tính: d()=D (constant)}

➔ pha

tuyến tính theo 

arg H  = −D

➔ Các thành phần tần số đều có độ trễ D như nhau:

H

e^jn⎯⎯→H

(



)

e^j(n−D)

3. Đáp ứng hình sine

B. Đáp ứng quá độ

⚫ Tín hiệu vào: sine, bắt đầu tại t=0

1

j₀n

Z

( )

x(n) = e u(n) ⎯⎯→ X z =

1−e^j⁰z⁻¹

z  e ^j⁰=1

với ROC:

⚫ Giả sử bộ lọc có hàm truyền H(z):

( )

N z

H

(

z

)

=

(

1− p₁z⁻¹

)

(

1− p₂z⁻¹

)

...

(

1− p_Mz⁻¹

)

3. Đáp ứng hình sine

⚫ Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z)

( )

−1

N z

Y

(

z

)

=

j₀

−1

1− e z

1− p₁z

)

(

1− p₂z⁻¹

)

...

(

1− p_Mz⁻¹

)

(

)

(

⚫ Giả sử bậc của N(z) nhỏ hơn M+1, khai triển phân số

từng phần:

( )

H ₀

B₁

B_M

1− p_Mz⁻¹

Y

(

z

)

=

+

++

1− e ^j⁰z⁻¹1− p₁z⁻¹

với ROC: |z|>1

3. Đáp ứng hình sine

⚫ Biến đổi ngược:

j₀n

n

1 1

n

( )

y(n) = H ₀e + B p +B_Mp_M, n  0

p_i1,i =1,M

⚫ Giả sử bộ lọc ổn định:

n→

p_iⁿ⎯⎯⎯→0 ,i =1,M

➔

j₀n

n→

( )

y(n) ⎯⎯⎯→H ₀e

3. Đáp ứng hình sine

p_iⁿ⎯ⁿ⎯^→⎯^→0

⚫ Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, các hệ số

⚫ Cực có biên độ lớn nhất p_Ithì hệ số tương ứng sẽ tiến về

0 chậm nhất.



= max p_i

⚫ Ký hiệu:

.

i

⚫ Hằng số thời gian hiệu quả n_efflà thời gian tại đó

ⁿ^eff= 

với  là mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1%

1

 

ln

 

ln 



 

n_eff= =

ln 

 

1

 



 

3. Đáp ứng hình sine

⚫ Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n) = u(n).

j

₀n

Trường hợp đặc biệt của

với ₀= 0 (z = 1)

e u(n)

y(n) = H

(

0

)

+ B pⁿ+ B₂p₂ⁿ+...+ B_Mp_Mⁿ, n  0

1 1

n→

y

(

n

)

⎯⎯⎯→H

(

0

)

H(0) coi như đáp ứng DC của bộ lọc.



( ) ( )

H 0 = H z = h(n)

Độ lợi DC:



z=1

n=0

3. Đáp ứng hình sine

⚫ Đáp ứng unit step thay đổi: tín hiệu vào x(n) = (-1)ⁿu(n).

j

₀n

Trường hợp đặc biệt của

với ₀=  (z = -1)

e u(n)

y(n) = H

(



)

e^jn+ B pⁿ+ B₂p₂ⁿ+...+ B_Mp_Mⁿ, n  0

1 1

n

n→

( )

( )(

)

y n ⎯⎯⎯→H  −1

Độ lợi AC:



n

( ) ( )

H  = H z = (−1) h(n)



z=−1

n=0

3. Đáp ứng hình sine

Ví dụ

1. Xác định đáp ứng quá độ đầy đủ của bộ lọc nhân quả

với tín hiệu vào dạng sine phức, tần số 0, cho

5+ 2z⁻¹

( )

H z =

1−0.8z⁻¹

2. Xác định đáp ứng DC và AC của bộ lọc trên. Tính hằng

số thời gian hiệu quả n_effđể đạt đến  = 1%

3. Đáp ứng hình sine

⚫ Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực nằm

trên vòng tròn đơn vị.

p₁= e^j

1

- Xét bộ lọc H(z) có cực trên vòng tròn đơn vị

.

p₁^*= e^{− j}¹

Bộ lọc sẽ có cực liên hợp:

- Giả sử các cực khác nằm trong vòng tròn đơn vị

- Đáp ứng quá độ

j₀n

j₁n

− j₁n

*

1

n

( )

y(n) = H ₀e + B e + B e + B₂p₂+...

1

j₀n

j₁n

− j₁n

n→

*

1

( )

y(n) ⎯⎯⎯→H ₀e + B e + B e

1

3. Đáp ứng hình sine

⚫ Nếu

thì tạo ra cộng hưởng và ngõ ra không

₀= ₁

₀=₁ e^j¹= e^j⁰= p₁

N(z)

(1− p₁z⁻¹)²(1− p₂z⁻¹)...(1− p_Mz⁻¹)

ổn định. Ví dụ:

Y(z) =

B₁

B₁^'

B₂

=

+

+...

1− p₁z⁻¹(1− p₁z⁻¹)²1− p₂z⁻¹

Z ⁻¹

1

⎯⎯→(n +1)aⁿu(n)

⚫ Biết:

(1− az⁻¹)²

 y(n) = B e^j¹ⁿ+ B^'(n+1)e^j¹ⁿ+ B₂p₂ⁿ+...

1

4. Thiết kế cực – zero

1. Các bộ lọc bậc nhất

Ví dụ: Thiết kế bộ lọc bậc 1 có hàm truyền dạng

G(1+bz⁻¹)

H(z) =

1− az⁻¹

với 0< a,b <1

|H()|

e^j

|H(0)|

a 1

-b

|H()|



0



4. Thiết kế cực – zero

G(1+ b)

( ) ( )

H  = 0 = H z =1 =

1− a

G(1−b)

( ) (

)

H  =  = H z = −1 =

1+ a

H() (1−b)(1− a)

H(0) (1+ a)(1+b)



=

Cần 2 phương trình thiết kế để xác định a và b.