Bài giảng Phân tích và thiết kế giải thuật - Chương 7: Vấn đề NP - Đầy đủ

Chương 7

Vấn đề NP-đầy đủ

1. Giải thuật thời gian đa thức tất định và không tất

định

2. Vấn đề NP-đầy đủ

3. Định lý Cook

4. Một số bài toán NP-đầy đủ

5. Một số kỹ thuật để đối phó với những bài toán

NP-đầy đủ

1

Tồn tại hay không tồn tại giải thuật hữu hiệu

•

Đối với nhiều bài toán chúng ta có những giải thuật

hữu hiệu để giải.

•

Tuy nhiên, có rất nhiều bài toán khác không có giải

thuật hữu hiệu để giải.

•

Và đối với một lớp khá lớn của những bài toán như

vậy, chúng ta không thể nói có tồn tại giải thuật hữu

hiệu để giải nó hay không.

2

Những bài toán khó và những bài toán dễ

•

Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện và có những cơ chế để

phân loại những bài toán mới là “khó bằng” một số bài toán

cũ đã biết.

•

Tuy nhiên, đôi khi ranh giới giữa những bài toán “khó” và

những bài toán “dễ” là khá tế nhị..

Thí dụ:



Dễ: Có tồn tại một lối đi từ x đến y mà trong số nhỏ hơn M?



KHó: Có tồn tại một lối đi từ x đến y mà trọng số ≥M?

Bài toán 1 - BFS – thời gian tuyến tính

Bài toán 2 – thời gian hàm mũ

3

1. Giải thuật thời gian đa thức tất định và không

tất định

P: Tập hợp tất cả những bài toán có thể giải được bằng

những giải thuật tất định trong thời gian đa thức.

“Tất định” (Deterministic) : khi giải thuật đang làm gì,

cũng chỉ có một việc duy nhất có thể được thực hiện kế

tiếp. (whatever the algorithm is doing, there is only one

thing it could do next).

Thí dụ: Xếp thứ tự bằng phương pháp chèn thuộc lớp P vì có

độ phức tạp đa thức O(N²)

4

Tính không tất định

Một cách để mở rộng quyền năng của máy tính là cho nó có

năng lực làm việc không tất định (non-determinism).

Không tất định: khi một giải thuật gặp một sự lựa chọn

giữa nhiều khả năng, nó có quyền năng “tiên đóan” để biết

chọn một khả năng thích đáng.

Giải thuật không tất định (nondeterministic algorithm)

Thí dụ: Cho A là một mảng số nguyên. Một giải thuật không

tất định NSORT(A, n) sắp thứ tự các số theo thứ tự tăng

và xuất chúng ra theo thứ tự này.

5

Thí dụ về một giải thuật không tất định

// An array B is used as temporary array.

procedure NSORT(A,n)

// sort n positive integers //

begin

for i:= 1 to n do B[i]:= 0;

// guessing stage

for i:= 1 to n do

begin

j := choice(1:n);

if B[j] <> 0 then failure

else B[j]:= A[i]

end

Hàm choice(1:n) có khả

năng xác định một vị trí

đúng trong tầm trị từ 1 đến

n.

// verification stage

for i:= 1 to n-1 do

if B[i] > B[i-1] then failure;

print(B);

success

end;

6

Thí dụ về một giải thuật không tất định (tt.)

Sự phân giải một giải thuật không tất định có thể được

thực hiện bằng một sự song song hóa không hạn chế

(unbounded parallelism).

Mỗi lần có bước lựa chọn phải thực hiện, giải thuật tạo ra

nhiều bản sao của chính nó (copies of itself). Mỗi bản sao

được thực hiện cho khả năng lựa chọn. Như vậy nhiều

khả năng được thực hiện cùng một lúc.

- Bản sao đầu tiên kết thúc thành công thì làm kết thúc

tất cả các quá trình tính tóan khác.

- Nếu một bản sao kết thúc thất bại thì chỉ bản sao ấy

kết thúc mà thôi.

7

Giải thuật không tất định (tt.)

Thật ra, một máy tính không tất định không tạo ra những

bản sao của giải thuật một khi phải thực hiện một lựa

chọn.

Mà, nó có quyền năng chọn một yếu tố “đúng” từ một tập

những khả năng lựa chọn mỗi phải thực hiện một lựa

chọn.

Một yếu tố “đúng” được định nghĩa như là một chuỗi ngắn

nhất của những lựa chọn (shortest sequence of choices) mà

dẫn đến sự kết thúc thành công.

Trong trường hợp không tồn tại một chuỗi những lựa chọn

mà dẫn đến sự kết thúc thành công ta giả định rằng giải

thuật dừng và in ra thông báo “tính toán không thành

công”.

8

Giải thuật không tất định (tt.)

Ghi chú:



Các thông báo success và failure là tương đương với

phát biểu stop trong một giải thuật tất định.



Độ phức tạp tính toán của NSORT là O(n).

NP: tập hợp tất cả những bài toán mà có thể được giải

bằng giải thuật không tất định trong thời gian đa

thức.

Thí dụ : Bài toán có tồn tại lối đi dài nhất từ đỉnh x đến

đỉnh y là thuộc lớp NP.

9

Bài toán thỏa mãn mạch logic (circuit

satisfiability problem)

Cho một công thức logic có dạng

(x1 + x3 + x5)*(x1+ ~x2 + x4)*(~x3 + x4 +x5)*

(x2 + ~x3 + x5)

với các biến xi là các biến logic (true or false), “+” diễn tả

OR, “*” diễn tả AND, và ~ diễn tả NOT.

Bài toán CSP là xác định xem có tồn tại một phép gán các

trị logic vào các biến logic sao cho toàn công thức trở

thành true.

CSP cũng là một bài toán NP.

Ghi chú: Lớp P là một tập con của lớp NP.

10

2. Vấn đề NP-đầy đủ

Có một danh sách những bài toán mà đã biết là thuộc về

lớp NP nhưng không rõ có thể thuộc về lớp P hay không.

(Tức là, ta giải chúng dễ dàng trên một máy không tất định

nhưng chưa ai có thể tìm thấy một giải thuật hữu hiệu chạy

trên máy tính thông thường để giải bất kỳ một bài toán nào

của chúng).

Những bài toán NP này lại có thêm một tính chất nữa là:

“Nếu bất kỳ một trong những bài toán này có thể giải

được trong thời gian đa thức thì tất cả những bài toán

thuộc lớp NP cũng sẽ được giải trong thời gian đa thức

trên một máy tất định.”

11

Những bài toán như vậy được gọi là những bài toán

NP-đầy đủ (NP-complete)

Hình 6.1

NP-complete

NP

P

12

Tính khả thu giảm đa thức (Polynomial

reducibility)

•

Lớp NP-đầy đủ là lớp con của những bài toán khó nhất

trong lớp NP.

•

Công cụ chính để chứng minh một bài toán thuộc loại NP-

đầy đủ là ý tưởng về tính khả thu giảm đa thức (polynomial

reducibility).

•

Bất cứ giải thuật nào giải được bài toán mới thuộc loại NP

có thể được dùng để giải một bài toán NP-đầy đủ nào đó

đã biết bằng cách sau:

biến thể một thể hiện bất kỳ của bài toán NP-đầy đủ đã biết

thành một thể hiện của bài toán mới, giải bài toán này bằng

giải thuật đã có để tìm ra một lời giải, rồi biến thể lời giải

này trở về thành một lời giải của bài toán NP-đầy đủ đã biết.

13

Tính khả thu giảm đa thức (tt.)

Để chứng minh một bài toán thuộc loại NP là NP-đầy đủ, ta

chỉ cần chứng tỏ rằng một bài toán NP-đầy đủ đã biết nào

đó thì khả thu giảm đa thức về bài toán mới ấy.

Định nghĩa: (Thu giảm về). Ta bảo bài toán L1 thu giảm về

(reduces to) bài toán L2, ký hiệu là L1 α L2 nếu bất kỳ giải

thuật nào giải được L2 thì cũng có thể được dùng để giải

L1.

14

Tính khả thu giảm đa thức (tt.)

Để chứng minh một bài toán mới L là NP-đầy đủ,

chúng ta cần chứng minh:

1. Bài toán L thuộc lớp NP

2. Một bài toán NP-đầy đủ đã biết thu giảm về L.

Thí dụ: Cho hai bài toán



Bài toán người thương gia du hành (TSP): cho một tập các

thành phố và khoảng cách giữa mỗi cặp thành phố, tìm

một lộ trình đi qua tất cả mọi thành phố sao cho tổng

khoảng cách của lộ trình nhỏ hơn M.



Bài toán chu trình Hamilton (HCP): Cho một đồ thị, tìm

một chu trình đơn mà đi qua tất cả mọi đỉnh.

15

Tính khả thu giảm đa thức (tt.)

Giả sử ta biết HCP là NP-đầy đủ và muốn xác định xem

TSP cũng là NP-đầy đủ hay không. Bất kỳ giải thuật nào

có thể được dùng để giải bài toán TSP cũng có thể được

dùng để giải bài toán HCP, thông qua sự thu giảm sau:

Cho một thể hiện của bài toán HCP (một đồ thị), hãy tạo ra

một thể hiện của bài toán TSP tương ứng như sau:

• tạo ra các thành phố của bài toán TSP bằng cách dùng

tập đỉnh trong đồ thị;

• về khoảng cách giữa hai cặp thành phố ta gán giá trị 1

nếu có tồn tại một cạnh giữa hai đỉnh tương ứng trong đồ

thị và giá trị 2 nếu không có cạnh.

Rồi thì dùng giải thuật giải TSP để tìm một lộ trình ≤ N (N

là số đỉnh trong đồ thị).

16

Tính khả thu giảm đa thức (tt.)

Nghĩa là HCP thu giảm về TSP, như vậy tính chất NP-đầy

đủ của HCP hàm ý tính chất tính chất NP-đầy đủ của TSP.

Sự thu giảm HCP về TSP là đơn giản vì hai bài toán có

những nét tương tự nhau.

Sự thu giảm thời gian đa thức có thể sẽ rất phức tạp khi

chúng ta liên kết những bài toán mà tương đối khác nhau.

Thí dụ: Có thể thu giảm bài toán thoả mãn mạch logic

(CSP) về bài toán HCP.

17

3. Định lý Cook

Nhưng: Bài toán nào là bài toán NP-đầy đủ đầu tiên?

S.A. Cook (1971) đã đề xuất được một chứng minh trực tiếp

đầu tiên rằng bài toán thỏa mãn mạch logic (CSP) là bài

toán NP-đầy đủ.

“Nếu tồn tại một giải thuật thời gian đa thức để giải bài toán

thỏa mãn mạch logic thì tất cả mọi bài toán trong lớp NP có

thể được giải trong thời gian đa thức.”

Chứng minh của Cook rất phức tạp nhưng chủ yếu dựa vào

máy Turing (Turing machine) tổng quát.

18

4. Một số bài toán NP-đầy đủ

Hàng nghìn bài toán khác nhau được biết là NP-đầy đủ.

Danh sách này bắt đầu bằng bài toán thoả mãn mạch logic,

bài toán người thương gia du hành (TSP) và bài toán chu

trình Hamilton.

Một vài bài toán khác như sau:

- Bài toán phân hoạch số: Cho một tập những số nguyên,

có thể phân hoạch chúng thành hai tập con mà có tổng

trị số bằng nhau?

- Bài toán qui hoạch nguyên: Cho một bài toán qui hoạch

tuyến tính, liệu có tồn tại một lời giải toàn số nguyên?

19

- Xếp lịch công việc trên đa bộ xử lý ( multiprocessor

scheduling): Cho một kỳ hạn (deadline) và một tập các

công tác có chiều dài thời gian khác nhau phải được

thực thi trên hai bộ xử lý. Vấn đề là có thể sắp xếp để

thực thi tất cả những công tác đó sao cho thỏa mãn kỳ

hạn không?

- Bài toán phủ đỉnh (VERTEX COVER): Cho một đồ thị

và một số nguyên N, có thể kiếm được một tập nhỏ hơn

N đỉnh mà chạm hết mọi cạnh trong đồ thị ?

- Bài toán xếp thùng (BIN PACKING): cho n món đồ mà

phải đặt vào trong các thùng có sức chứa bằng nhau L.

Món đồ i đòi hỏi l_iđơn vị sức chứa của thùng. Mục đích

là xác định số thùng ít nhất cần để chứa tất cả n món đồ

đó.

20

Bài giảng Phân tích và thiết kế giải thuật - Chương 7: Vấn đề NP - Đầy đủ - Dương Tuấn Anh