Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Biến đổi Z
Xử lý số tín hiệu
Chương 5: Biến đổi Z
1. Định nghĩa
⚫ Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n):
+
X (z) = x(n)z−n
n=−
= ...+ x(−2)z2 + x(−1)z + x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 +...
⚫ Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n)
+
H(z) = h(n)z−n
n=−
2. Các tính chất cơ bản
a. Tính tuyến tính
Z
A x (n)+ A2x2 (n) ⎯⎯→ A X (z)+ A2 X2 (z)
1 1
1 1
b. Tính trễ
Z
Z
x
n
⎯⎯→ X
z
x
n− D
⎯⎯→z−D X(z)
c. Tính chập
y(n) = h(n) x(n) Y(z) = X(z)H(z)
2. Các tính chất cơ bản
u(n) −u(n −1) = (n)
Ví dụ 1 Dùng
và tính chất của biến đổi
Z, xác định biến đổi Z của:
a) x(n) = u(n)
b) x(n) = -u(-n-1)
Ví dụ 2 Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín
hiệu ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
3. Miền hội tụ
Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z):
ROC =
zC X(z)
Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n)
+
+
Biến đổi Z:
X (z) = (0.5)n u(n)z−n = (0.5z−1)n
z-plane
n=−
n=0
z
Tổng hội tụ khi
ROC
0.5z−1 1 z 0.5
ROC =
z C z 0.5
1
Z
n
( )
(0.5) u n ⎯⎯→
, z 0.5
1−0.5z−1
3. Miền hội tụ
Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1)
−1
+
Biến đổi Z:
X (z) = − (0.5)n z−n = − [(0.5)−1 z]m
n=−
m=1
ROC =
z C z 0.5
z-plane
z
⚫ Kết quả:
1
ROC
,
Z
−(0.5)n u(−n −1) ⎯⎯→
1−0.5z−1
3. Miền hội tụ
1
Z
anu(n) ⎯⎯→
, z a
⚫ Tổng quát:
1− az−1
1
Z
− anu(−n −1) ⎯⎯→
, z a
1− az−1
z-plane
z-plane
a
a
ROC
cực
cực
ROC
4. Tính nhân quả và ổn định
⚫ Tín hiệu nhân quả dạng:
x(n) = A pnu(n)+ A2 p2nu(n)+...
1 1
có biến đổi Z là:
A
A2
1
X (z) =
+
+...
1− p1z−1 1− p2 z−1
z max pi
Với ROC:
i
p4
p1
p2
p3
ROC
4. Tính nhân quả và ổn định
⚫ Tín hiệu phản nhân quả dạng:
x(n) = −A pnu(−n−1)− A2 p2nu(−n−1)−...
1 1
cũng có biến đổi Z là:
A
A2
1
X (z) =
+
+...
1− p1z−1 1− p2 z−1
z min pi
Với ROC:
p4
i
p2
p3
ROC
4. Tính nhân quả và ổn định
Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của
a.
b.
c.
d.
x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n)
x(n) = (0.8)nu(n) – (1.25)nu(-n – 1 )
x(n) = – (0.8)nu(-n-1) + (1.25)nu(n)
x(n) = – (0.8)nu(- n – 1) – (1.25)nu(-n – 1)
4. Tính nhân quả và ổn định
x(n) ổn định
ROC có chứa vòng tròn đơn vị
Các trường hợp:
p4
p4
p4
p1
p2
p1
p2
p3
p3
p3
2
ROC
ROC
ROC
vòng tròn đơn vị
vòng tròn đơn vị
vòng tròn đơn vị
5. Phổ tần số
+
X (z) = x(n)zn
⚫ Biến đổi Z của x(n):
n=−
+
X ( f ) = x(n)e− j2fnT
⚫ Biến đổi DTFT của x(n):
2f
n=−
= 2fT =
⚫ Đặt
(Tần số số)
fs
+
X () = x(n)e− jn = X (z)
➔
z=e j
n=−
Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị.
5. Phổ tần số
⚫ Đáp ứng tần số của hệ thống h(n) với hàm truyền H(z):
+
H() = h(n)e− jn = H(z)
z=e j
n=−
⚫ X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs ➔ X(ω), H(ω) tuần
hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)
⚫ DTFT ngược:
fS /2
1
1
x(n) = X
(
)
ejnd =
X
(
f
)
ej2fn/ fS df
2
fS
−
− fS /2
5. Phổ tần số
ejω
Mặt phẳng Z
ω = π
ω = 0
0
Vò ng trò n
đơn vị
Điều kiện tồn tại X(ω): ROC của X(z) chứa
vò ng trò n đơn vx(n) ổn định
5. Phổ tần số
1− z1z−1 z − z1
=
X (z) =
⚫ Xé t X(z):
1− p1z−1 z − p1
⚫ X(z) có 1 cực z = p1 và 1 zero z = z1
⚫ Thay z = ejω,
ej − z1
ej − z2
ej − z1
ej − p1
X () =
= X () =
5. Phổ tần số
|z-p1|
ejω
|z-z1|
|X(ω)|
pole
p1
0
z1
ω1
zero
φ1 1
φ1
ω
0
ω1
6. Biến đổi Z ngược
Tổng quát:
⚫ Đưa X(z) về dạng
A
A2
1
X (z) =
+
+...
1− p1z−1 1− p2 z−1
Tùy theo ROC, suy ra x(n)
1
1
X (z) =
+
Ví dụ:
1−0.8z−1 1−1.25z−1
⚫ ROC={z,|z|<0.8} ➔ x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1)
⚫ ROC={z, 0.8<|z|<1.25} ➔ x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1)
⚫ ROC={z, 1.25 < |z|} ➔ x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)
6. Biến đổi Z ngược
A. Pp khai triển phân số từng phần:
N(z)
N(z)
X (z) =
=
D(z) (1− p1z−1)(1− p2 z−1)...(1− pM z−1)
Bậc của mẫu số D(z) bằng M
⚫ Trường hợp 1: Bậc của N(z) nhỏ hơn M:
A
A2
AM
1− pM z−1
1
X (z) =
+
+...+
1− p1z−1 1− p2 z−1
Với
−1
A =
1− pi z
X(z) z= p , i =1, 2,..., M
i
i
6. Biến đổi Z ngược
⚫ Ví dụ: Khai triển
2−2.05z−1
2−2.05z−1
X(z) =
=
1−2.05z−1 + z−2
1−0.8z−11−1.25z−1
A
A2
1
X (z) =
+
=>
1−0.8z−1 1−1.25z−1
−1
2−2.05z
Với
−1
−1
A =
(
1−0.8z
)
X(z) z=0.8 =
=1
1
1−1.25z−1
z=0.8
−1
2−2.05z
1−0.8z−1
A2 =
(
1−1.25z
)
X(z) z=1.25 =
=1
z=1.25
6. Biến đổi Z ngược
⚫ Trường hợp 2: Khi bậc của N(z) bằng M:
A
A2
AM
1− pM z−1
1
X (z) = A0 +
+
+...+
1− p1z−1 1− p2 z−1
⚫ Với
−1
A =
1− pi z
X(z) z= p , i =1, 2,..., M
i
i
A0 = lim X
(
z
)
z→0
Tải về để xem bản đầy đủ
22 trang
12/01/2024
14300
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Biến đổi Z", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xu_ly_so_tin_hieu_chuong_4_chuong_5_bien_doi_z.ppt
