Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

Moân hoïc

â ï

LYÙ THUYEÁT ÑIEÀU KHIEÅN TÖÏ ÑOÄNG

Á À Å Ï Ä

Ù

Giaûng vieân: TS. Huyønh Thaùi Hoaøng

Boä moân Ñieàu Khieån Töï Ñoäng

Khoa Ñieän – Ñieän Töû

Ñaïi hoïc Baùch Khoa TP.HCM

Email: [email protected]

Homepage: http://www2.hcmut.edu.vn/~hthoang/

26 September 2006

1

Chöông 3

KHAÛO SAÙT

Û Ù

TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG

Û Ä Á

Å

26 September 2006

2

Noäi dung chöông 3

ä

Khaùi nieäm oån ñònh

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá

Ñieàu kieän caàn

Tieâu chuaån Routh

Tieâu chuaån Hurwitz

Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)

Khaùi nieäm veà QÑNS

Phöông phaùp veõ QÑNS

Xeùt oån ñònh duøng QÑNS

Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá

Khaùi nieäm veà ñaëc tính taàn soá

Ñaëc tính taàn soá cuûa caùc khaâu cô baûn

Ñaëc tính taàn soá cuûa heä thoáng töï ñoäng

Tieâu chuaån oån ñònh Bode

Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist

26 September 2006

3

Khaùi nieäm oån ñònh

ù ä å

26 September 2006

4

Khaùi nieäm oån ñònh

ù ä å

Ñònh nghóa oån ñònh BIBO

å

Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh BIBO (Bounded Input Bounded

Output) neáu ñaùp öùng cuûa heä bò chaën khi tín hieäu vaøo bò chaën.

c(t)

r(t)

Heä thoáng

26 September 2006

5

Thí duï minh hoïa khaùi nieäm oån ñònh

ï

ù ä å

HT ôû bieân

HT oån ñònh

HT khoâng oån ñònh

giôùi oån ñònh

26 September 2006

6

Khaùi nieäm oån ñònh

ù ä å

Cöïc vaø zero

ï ø

Cho heä thoáng töï ñoäng coù haøm truyeàn laø:

C(s) b₀s^m+ b s^m−1+K+ b_m−1s + b_m

R(s)

1

G(s) =

=

a₀sⁿ+ a₁sⁿ⁻¹+K+ a_n−1s + a_n

A(s) = a₀sⁿ+ a₁sⁿ⁻¹+K+ a_n−1s + a_n

Ñaët:

maãu soá haøm truyeàn

töû soá haøm truyeàn

B(s) = b₀s^m+ b s^m−1+K+ b_m−1s + b_m

1

Cöïc: (Pole) laø nghieäm cuûa maãu soá haøm truyeàn, töùc laø nghieäm cuûa

phöông trình A(s) = 0. Do A(s) baäc n neân heä thoáng coù n cöïc kyù

hieäu laø p_i, i =1,2,…m.

Zero: laø nghieäm cuûa töû soá haøm truyeàn, töùc laø nghieäm cuûa phöông

trình B(s) = 0. Do B(s) baäc m neân heä thoáng coù m zero kyù hieäu laø z_i,

i =1,2,…m.

26 September 2006

7

Khaùi nieäm oån ñònh

ù ä å

Giaûn ñoà cöïc - zero

û à ï

Giaûn ñoà cöïc – zero laø ñoà thò bieåu dieãn vò trí caùc cöïc vaø caùc zero

cuûa heä thoáng trong maët phaúng phöùc.

26 September 2006

8

Khaùi nieäm oån ñònh

ù ä å

Ñieàu kieän oån ñònh

ä å

à

Tính oån ñònh cuûa heä thoáng phuï thuoäc vaøo vò trí caùc cöïc.

Heä thoáng coù taát caû caùc cöïc coù phaàn thöïc aâm (coù taát caû caùc cöïc

ñeàu naèm beân traùi maët phaúng phöùc): heä thoáng oån ñònh.

Heä thoáng coù cöïc coù phaàn thöïc baèng 0 (naèm treân truïc aûo), caùc cöïc

coøn laïi coù phaàn thöïc baèng aâm: heä thoáng ôû bieân giôùi oån ñònh.

Heä thoáng coù ít nhaát moät cöïc coù phaàn thöïc döông (coù ít nhaát moät

cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc): heä thoáng khoâng oån ñònh.

26 September 2006

9

Khaùi nieäm oån ñònh

ù ä å

Phöông trình ñaëc tröng (PTÑT)

ë

Phöông trình ñaëc tröng: phöông trình A(s) = 0

Ña thöùc ñaëc tröng: ña thöùc A(s)

Heä thoáng hoài tieáp

Heä thoáng moâ taû baèng PTTT

&

x(t) = Ax(t) + Br(t)







c(t) = Cx(t)

Phöông trình ñaëc tröng

det sI − A = 0

1+ G(s)H(s) = 0

(

)

26 September 2006

10

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá

ï á

â

å å

26 September 2006

11

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá

å å ï á

â

Ñieàu kieän caàn

ä à

à

Ñieàu kieän caàn ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc heä soá cuûa phöông

trình ñaëc tröng phaûi khaùc 0 vaø cuøng daáu.

Thí duï: Heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng:

s³+ 3s²− 2s +1= 0

Khoâng oån ñònh

s⁴+ 2s²+ 5s + 3 = 0

Khoâng oån ñònh

s⁴+ 4s³+ 5s²+ 2s +1= 0

Chöa keát luaän ñöôïc

26 September 2006

12

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

å å ï á â

â

å

Qui taéc thaønh laäp baûng Routh

ä û

é

ø

Cho heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng:

a₀sⁿ+ a₁sⁿ⁻¹+K+ a_n−1s + a_n= 0

Muoán xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng theo tieâu chuaån Routh, tröôùc

tieân ta thaønh laäp baûng Routh theo qui taéc:

Baûng Routh coù n+1 haøng.

Haøng 1 cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá chaún.

Haøng 2 cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá leû.

Phaàn töû ôû haøng i coät j cuûa baûng Routh (i ≥ 3) ñöôïc tính theo

coâng thöùc:

c_ij= c_{i−2, j+1}−α_i.c_{i−1, j+1}

c_i−2,1

c_i−1,1

α_i=

vôùi

26 September 2006

13

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

â

å å

ï á â

å

Daïng baûng Routh

ï

û

26 September 2006

14

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

å å ï á â

â

å

Phaùt bieåu tieâu chuaån

ù å â

å

Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc phaàn töû

naèm ôû coät 1 cuûa baûng Routh ñeàu döông. Soá laàn ñoåi daáu cuûa caùc

phaàn töû ôû coät 1 cuûa baûng Routh baèng soá nghieäm cuûa phöông trình

ñaëc tröng naèm beân phaûi maët phaúng phöùc.

26 September 2006

15

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

å å ï á â

â

å

Thí duï 1

ï

Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø:

s⁴+ 4s³+ 5s²+ 2s +1 = 0

Giaûi: Baûng Routh

Keát luaän: Heä thoáng oån ñònh do taát caû caùc phaàn töû ôû coät 1 baûng

Routh ñeàu döông.

26 September 2006

16

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

å å ï á â

â

å

Thí duï 2

ï

Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái:

50

G(s) =

s(s + 3)(s²+ s + 5)

1

s + 2

H(s) =

Giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø:

1+ G(s).

H

(s) = 0

50

1

⇔

1+

.

= 0

s(s + 3)(s²+ s + 5) (s + 2)

s(s + 3)(s²+ s + 5)(s + 2) + 50 = 0

s⁵+ 6s⁴+16s³+ 31s²+ 30s + 50 = 0

⇔

26 September 2006

ÐHBK TPHCM

17

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

â

å å

ï á â

å

Thí duï 2 (tt)

ï

Baûng Routh

Keát luaän: Heä thoáng khoâng oån ñònh do taát caû caùc phaàn töû ôû coät 1

baûng Routh ñoåi daáu 2 laàn.

26 September 2006

ÐHBK TPHCM

18

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

å å ï á â

â

å

Thí duï 3

ï

Tìm ñieàu kieän cuûa K ñeå heä thoáng oån ñònh:

K

G(s) =

s(s²+ s +1)(s + 2)

Giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø:

1+

G

(s) = 0

K

⇔

1+

= 0

s(s²+ s +1)(s + 2)

s⁴+ 3s³+ 3s²+ 2s +

K

= 0

26 September 2006

ÐHBK TPHCM

19

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh

â

å å

ï á â

å

Thí duï 3 (tt)

ï

Baûng Routh

Ñieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh:

9





2 − K > 0

14

9

⇔

0 < K <



7





K > 0

26 September 2006

ÐHBK TPHCM

20

Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng