Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - Huỳnh Thái Hoàng
Moân hoïc
â ï
LYÙ THUYEÁT ÑIEÀU KHIEÅN TÖÏ ÑOÄNG
Á À Å Ï Ä
Ù
Giaûng vieân: TS. Huyønh Thaùi Hoaøng
Boä moân Ñieàu Khieån Töï Ñoäng
Khoa Ñieän – Ñieän Töû
Ñaïi hoïc Baùch Khoa TP.HCM
Email: [email protected]
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
1
Chöông 2
MOÂ HÌNH TOAÙN HOÏC
Ù Ï
Â
HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC
Ä Á Å Â Ï
À
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
2
Noäi dung chöông 2
ä
Khaùi nieäm veà moâ hình toaùn hoïc
Haøm truyeàn
Pheùp bieán ñoåi Laplace
Ñònh nghóa haøm truyeàn
Haøm truyeàn cuûa moät soá phaàn töû
Haøm truyeàn cuûa heä thoáng töï ñoäng
Ñaïi soá sô ñoà khoái
Sô ñoà doøng tín hieäu
Phöông trình traïng thaùi (PTTT)
Khaùi nieäm veà PTTT
Caùch thaønh laäp PTTT töø phöông trình vi phaân
Quan heä giöõa PTTT vaø haøm truyeàn
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
3
Khaùi nieäm veà moâ hình toaùn hoïc
ù ä à â ù ï
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
4
Khaùi nieäm veà moâ hình toaùn hoïc
ù ä à â ù ï
Heä thoáng ñieàu khieån thöïc teá raát ña daïng vaø coù baûn chaát vaät lyù
khaùc nhau.
Caàn coù cô sôû chung ñeå phaân tích, thieát keá caùc heä thoáng ñieàu
khieån coù baûn chaát vaät lyù khaùc nhau. Cô sôû ñoù chính laø toaùn hoïc.
Quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa moät heä thoáng tuyeán
tính baát bieán lieân tuïc coù theå moâ taû baèng phöông trình vi phaân
tuyeán tính heä soá haèng:
r(t)
c(t)
Heä thoáng tuyeán tính
baát bieán lieân tuïc
d nc(t)
d n−1c(t)
dc(t)
d mr(t)
d m−1r(t)
dr(t)
a0
+ a1
+L+ an−1
+ a c(t) =
b0
+ b
+L+ bm−1
+ bmr(t)
n
1
dn
dn−1
dm
dm−1
n: baäc cuûa heä thoáng, heä thoáng hôïp thöùc neáu n≥m.
ai, bi: thoâng soá cuûa heä thoáng
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
5
Moät soá thí duï moâ taû heä thoáng baèng phöông trình vi phaân
ä á ï â û ä á
è
â
Thí duï 2.1: Ñaëc tính ñoäng hoïc toác ñoä xe oâ toâ
dv(t)
M
+ Bv(t) = f (t)
dt
M: khoái löôïng xe, B heä soá ma saùt: thoâng soá cuûa heä thoáng
f(t): löïc keùo cuûa ñoäng cô: tín hieäu vaøo
v(t): toác ñoä xe: tín hieäu ra
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
6
Moät soá thí duï moâ taû heä thoáng baèng phöông trình vi phaân
ä á ï â û ä á
è
â
Thí duï 2.2: Ñaëc tính ñoäng hoïc heä thoáng giaûm chaán cuûa xe
d2 y(t) dy(t)
M
+ B
+ Ky(t) = f (t)
d2
dt
M: khoái löôïng taùc ñoäng leân baùnh xe,
B heä soá ma saùt, K ñoä cöùng loø xo
f(t): löïc do soác: tín hieäu vaøo
y(t): dòch chuyeån cuûa thaân xe: tín hieäu ra
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
7
Moät soá thí duï moâ taû heä thoáng baèng phöông trình vi phaân
ä á
ï â û ä á
è
â
Thí duï 2.3: Ñaëc tính ñoäng hoïc thang maùy
d2 y(t) dy(t)
+ B
MT
+ MT g = Kτ (t) + MÑ g
dt2
dt
MT: khoái löôïng buoàng thang, MÑ: khoái löôïng ñoái troïng
B heä soá ma saùt, K heä soá tæ leä
τ(t): moment keùo cuûa ñoäng cô: tín hieäu vaøo
y(t): vò trí buoàng thang: tín hieäu ra
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
8
Haïn cheá cuûa moâ hình toaùn döôùi daïng phöông trình vi phaân
ï
á û â
ù
ù ï
â
Phöông trình vi phaân baäc n (n>2) raát khoù giaûi
d nc(t)
d n−1c(t)
dc(t)
d mr(t)
d m−1r(t)
dr(t)
a0
+ a1
+L+ an−1
+ anc(t) = b0
+ b
+L+ bm−1
+ bmr(t)
1
dtn
dtn−1
dt
dm
dm−1
Phaân tích heä thoáng döïa vaøo moâ hình toaùn laø phöông trình vi
phaân gaëp raát nhieàu khoù khaên (moät thí duï ñôn giaûn laø bieát tín
hieäu vaøo, caàn tính ñaùp öùng cuûa heä thoáng, neáu giaûi phöông trình
vi phaân thì khoâng ñôn giaûn chuùt naøo!!!.)
Thieát keá heä thoáng döïa vaøo phöông trình vi phaân haàu nhö khoâng
theå thöïc hieän ñöôïc trong tröôøng hôïp toång quaùt.
⇒ Caàn caùc daïng moâ taû toaùn hoïc khaùc giuùp phaân tích vaø thieát keá heä
thoáng töï ñoäng deå daøng hôn.
Haøm truyeàn
Phöông trình traïng thaùi
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
9
Haøm truyeàn
ø
à
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
10
Pheùp bieán ñoåi Laplace
ù á å
Ñònh nghóa:
Cho f(t) laø haøm xaùc ñònh vôùi moïi t ≥ 0, bieán ñoåi Laplace cuûa f(t)
laø:
+∞
−st
L
{
f (t)
}
= F(s) = f (t).e dt
∫
0
Trong ñoù:
− s : bieán phöùc (bieán Laplace)
− L : toaùn töû bieán ñoåi Laplace.
− F(s) : bieán ñoåi Laplace cuûa haøm f(t).
Bieán ñoåi Laplace toàn taïi khi tích phaân ôû bieåu thöùc ñònh nghóa
treân hoäi tuï.
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
11
Pheùp bieán ñoåi Laplace (tt)
ù á å
Tính chaát:
Cho f(t) vaø g(t) laø hai haøm theo thôøi gian coù bieán ñoåi Laplace laø
f (t) = F(s) g(t) = G(s)
L
{
}
L
{
}
Tính tuyeán tính
Ñònh lyù chaäm treå
L
L
L
a. f (t) + b.g(t) = a.F(s) + b.G(s)
}
f (t − T)
}
= e−Ts .F(s)
df (t)
= sF(s) − f (0+ )
AÛnh cuûa ñaïo haøm
AÛnh cuûa tích phaân
Ñònh lyù giaù trò cuoái
26 September 2006
dt
t
F(s)
L f (τ )dτ =
∫
s
0
lim f (t) = lim sF(s)
t→∞
s→0
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
12
Pheùp bieán ñoåi Laplace (tt)
ù á å
Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn:
Haøm naác ñôn vò (step): tín hieäu vaøo heä thoáng ñieàu khieån oån
ñònh hoùa
u(t)
1
s
1 neáu t ≥ 0
0 neáu t < 0
1
L
L
{
u(t)
}
=
u(t) =
t
t
0
Haøm dirac: thöôøng duøng ñeå moâ taû nhieãu
δ(t)
0 neáu t ≠ 0
∞ neáu t = 0
δ (t) =
1
δ (t) =1
}
+∞
0
δ (t)dt =1
∫
−∞
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
13
Pheùp bieán ñoåi Laplace (tt)
ù á å
Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn (tt):
Haøm doác ñôn vò (Ramp): tín hieäu vaøo heä thoáng ñieàu khieån theo
doõi
r(t)
1
t neáu t ≥ 0
0 neáu t < 0
1
L
{
t.u(t)
}
=
r(t) = tu(t) =
s2
t
0 1
Haøm muõ
f(t)
−at
1
s + a
e neáu t ≥ 0
−at
f (t) = e−at.u(t) =
}
L e .u(t) =
1
0 neáu t < 0
t
0
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
14
Pheùp bieán ñoåi Laplace (tt)
ù á å
Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn (tt):
Haøm sin:
sinωt neáu t ≥ 0
f(t)
f (t) = (sinωt).u(t) =
0
neáu t < 0
t
0
ω
L
{
(sinωt)u(t)
}
=
s2 + ω2
Baûng bieán ñoåi Laplace: SV caàn hoïc thuoäc bieán ñoåi Laplace cuûa
caùc haøm cô baûn. Caùc haøm khaùc coù theå tra BAÛNG BIEÁN ÑOÅI
LAPLACE ôû phuï luïc saùch Lyù thuyeát Ñieàu khieån töï ñoäng.
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
15
Ñònh nghóa haøm truyeàn
ø
à
Xeùt heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình vi phaân:
r(t)
c(t)
Heä thoáng tuyeán tính
baát bieán lieân tuïc
dnc(t) dn−1c(t)
+ a1
dc(t)
a0
+L+ an−1
+ anc(t) =
dtn
dtn−1
b0
dt
dmr(t) dm−1r(t)
dr(t)
+ b
+L+ bm−1
+ bmr(t)
1
dtm
dtm−1
dt
Bieán ñoåi Laplace 2 veá phöông trình treân, ñeå yù tính chaát aûnh cuûa
ñaïo haøm, giaû thieát ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta ñöôïc:
a0snC(s) + a1sn−1C(s) +L+ an−1sC(s) + anC(s) =
b0smR(s) + b sm−1R(s) +L+ bm−1sR(s) + bmR(s)
1
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
16
Ñònh nghóa haøm truyeàn (tt)
ø
à
Haøm truyeàn cuûa heä thoáng:
C(s) b0sm + b sm−1 +L+ bm−1s + bm
R(s)
1
G(s) =
=
a0sn + a1sn−1 +L+ an−1s + an
Ñònh nghóa: Haøm truyeàn cuûa heä thoáng laø tæ soá giöõa bieán ñoåi
Laplace cuûa tín hieäu ra vaø bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu vaøo khi
ñieàu kieän ñaàu baèng 0.
Chuù yù: Maëc duø haøm truyeàn ñöôïc ñònh nghóa laø tæ soá giöõa bieán
ñoåi Laplace cuûa tín hieäu ra vaø bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu vaøo
nhöng haøm truyeàn khoâng phuï thuoäc vaøo tín hieäu ra vaø tín hieäu
vaøo maø chæ phuï thuoäc vaøo caáu truùc vaø thoâng soá cuûa heä thoáng.
Do ñoù coù theå duøng haøm truyeàn ñeå moâ taû heä thoáng.
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
17
Haøm truyeàn cuûa caùc phaàn töû
à û ù à û
ø
Caùch tìm haøm truyeàn
Böôùc 1: Thaønh laäp phöông trình vi phaân moâ taû quan heä vaøo – ra
cuûa phaàn töû baèng caùch:
AÙp duïng caùc ñònh luaät Kirchoff, quan heä doøng–aùp treân ñieän
trôû, tuï ñieän, cuoän caûm,… ñoái vôùi caùc phaàn töû ñieän.
AÙp duïng caùc ñònh luaät Newton, quan heä giöõa löïc ma saùt vaø
vaän toác, quan heä giöõa löïc vaø bieán daïng cuûa loø xo,… ñoái vôùi
caùc phaàn töû cô khí.
AÙp duïng caùc ñònh luaät truyeàn nhieät, ñònh luaät baûo toaøn naêng
löôïng,… ñoái vôùi caùc phaàn töû nhieät.
…
Böôùc 2: Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vi phaân vöøa
thaønh laäp ôû böôùc 1, ta ñöôïc haøm truyeàn caàn tìm.
Chuù yù: ñoái vôùi caùc maïch ñieän coù theå tìm haøm truyeàn theo
phöông phaùp toång trôû phöùc.
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
18
Haøm truyeàn cuûa caùc boä ñieàu khieån (khaâu hieäu chænh)
à û ù ä à â ä
ø
å
Caùc khaâu hieäu chænh thuï ñoäng
R
1
Maïch tích phaân baäc 1:
Maïch vi phaân baäc 1:
C
R
G(s) =
G(s) =
RCs +1
C
RCs
RCs +1
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
19
Haøm truyeàn cuûa caùc boä ñieàu khieån (khaâu hieäu chænh)
à û ù ä à â ä
ø
å
Caùc khaâu hieäu chænh thuï ñoäng (tt)
C
Maïch sôùm pha:
αTs +1
Ts +1
R1
G(s) = KC
R2
R2
R + R2
R + R2
R2R1C
1R2
KC =
α =
>1
T =
R + R2
1
1
R2
αTs +1
Ts +1
Maïch treå pha:
R1
C
G(s) = KC
R2
R + R2
α =
<1
T = (R + R2 )C
KC =1
1
1
26 September 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
20
Tải về để xem bản đầy đủ
98 trang
24480
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - Huỳnh Thái Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_2_mo_hinh_toan.pdf
