Luận văn Cơ lượng tử - Nguyễn Thị Nga
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Chæång 1: SÅ LÆÅC LY THUYÃT BIÃU DIÃN
I.
BIÃU DIÃN CAC TRANG THAI LÆÅNG TÆ:
r
Ham song Y
r
ma ta thæång viãt tæ træåc âãn nay la phán phu
û
thuäc toa
û
âä cua ham song. Hay ta co thã noi âo la ham song trong “biãu diã
ùn toa âä” hay “r
- biãu diãn”.
- x2
r
e
Vê du: Y
r
=
la ham song trong r - biãu diãn, no chè phu thuäc toa
c âënh thç ta xac âënh âæåc ham song.
Ta biãt ràng mäi toan tæ L biãu diãn biãn sä âäng læc L thç hã ham riãng
âä x. Båi le cæ cho x mät gia trë xa
ï
ï
)
)
r
cua L láp thanh mät hã âáy âu âã ham song Y ( r ) co thã viãt dang mät tä håp
tuyãn tênh cua cac haìm riãng nay laì:
r
r
=
C n U n (r )
Y( r )
å
n
)
r
Trong âo Cn la hã sä hàng sä, cac ham Un (r) la ha
ì
m riãng cua toan tæ L .
Cac ham riãng nay la âa biãt. Váy nãu cac hã sä phán têch Cn thç haìm song
r
Y( r ) hoan toan âæåc xac âënh. Nhæ váy táp håp cac sä Cn hoan toan co thã thay
r
thã choY( r ) âã mä ta trang thai cua hat. Ta noi ràng táp håp cac Cn la ham song
mä ta trang thai cua hat trong L - biãu diãn.
Nhæ váy, âã
cho trong toa âä biãu diãn hay trong biãu diãn nao âo cung âæåc.
Sau âáy, ta se xet ham song trong mät sä biãu diãn cu thã va sæ
ham song tæ biãu diãn nay sang biãu diãn khac.
ø
mä ta trang thai cua hã
û
læång tæ
í
ta co thã mä ta bàng ha
ì
m song
ú
ø
û
biãn âäi
ï
1.Ham song trong biãu diãn toa âä (r - biãu diãn):
Trong biãu diãn toa âä
a (trang thai a) va ham song trong biãu diãn toa âä ta âá
n phu thuäc toa âä cua ham song.
ü, trang thai læång tæ cua hã âæåc kê hiãu bàng chè sä
ì
ù
lam quen va
ì
thæång âæåc
r
viãt la Ya( r ) . Âo la phá
ö
ü
ü
r
r
Trong âo ( r ) la mät táp håp toa âä (x,y,z). Ta cung âa biãt y a (r) 2 mát âä
r
xac suát tçm tháy hat co toa âä ( r ) khi ham so
ïng âa chuán hoa. Thæc tã ta âa lam
viãc våi ha
ì
m song trong biãu diãn toa âä (r - biãu diãn) tæ âáu gia
ï
o trçnh âãn giå.
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 1
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
n):
2. Ham song trong biãu diãn nàng læång (E - biãu diã
ù
Âã dã hiãu ván âã, ta xet trang thai cua mä
træång ngoai, nàng læång cu hat la ám va do âo nàng læå
Cac trë riãng cua nàng læång la En (n=1,2,3,4...) va ham riãng tæång æng la
ü
t hat chuyãn âäng trong âiãn
ü
ü
ng cua hat la gian âoan.
r
Un( r ). Theo tênh chát âu
í cua hã ham riãng ta coï:
r
r
y (r) = Cn Un (r)
å
a
n
Nhæ ta âa noi å phán trãn, táp håp cac Cn la ham song mä ta trang thai a
cua hat trong E - biãu diãn va vç la ham song nãn cung viãt la: j (En).
Nhæ váy tæ tênh chát âu cua hã cac ham riãng, ta co cäng thæc chuyãn âäi
tæ ham song trong E - biãu diãn sang r -biãu diãn nhæ sau:
ø
ï
a
ø
r
r
Ya( r )= j (En).Un( r )
(1.1)
a
å
n
Va tæ cäng thæc tênh hã sä phán têch, ta co cäng thæc chuyãn âäi tæ ham
song trong r - biãu diãn sang E -biãøu diãn nhæ sau:
r
r
j (En ) = U*n y a (r)d(r)
(1.2)
a
ò
r
r
Trong âo
song mä ta
Biãt trang thai Ya( r ) cua hã va cac ham riãng Un( r ) cua nàng læång ta tçm
âæåc ham song trong E - biãu diãn ma nhæ sau nay ta se biãt, no âæåc mä ta bàng
mät ma trán k hang va mät cät.
Nãu ham song trong r - biãu diãn âa âæåc chuán hoa thç ham song trong E -
biãu diãn cung âæåc chuán hoa.
Thát váy, ha
ï
Un( r ) ha
ì
m riãng cua toan tæ
í
nàng læång, j (En), Ya( r ) la ham
a
í
trang thai a cua hã læång tæ trong E -biãu diãn va r -biãøu diãn.
r
r
ï
í
û
î
ü
ì
m song âa âæåc chuán hoa nãn:
r
Ya*Yad(r) =1
ò
Hay
r
r
r
C* U* (r) C U (r)d(r) =1
å
å
m
m
n
n
n
n
r
r
r
j (E ) j (En ) U*m (r)Un (r)d(r) =1
*
Hay
å
å
m
ò
ò
a
a
r
n
n
(
r
)
*
*
j (E ) j (E )d =1
å
å
n
m
m,n
a
a
n
n
*
*
Þ
j (E ) j (E ) =1
å
å
n
n
a
a
n
n
2
Þ
j (En ) = 1
å
a
n
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 2
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Âàng thæc na
E - biãu diãn.
ìy chênh la âiãu kiãn chuáøn hoa cua ham song trong
ù
3. Ham song trong biãu diãn xung læång (P - biãu diãùn):
r
Toan tæ xung læång co phä liãn tuc nãn ha
ì
m riãng æng våi trë riãngP cua
r
r
toan tæ xung læång trong r - biãu diãn âæåc viãt la: YP ( r ) va ham phai âæåc
chuán hoa vã ham âenta. Tæc la:
r
r
¢
0 khi p ¹ p
¥
r
r
r
*
r
r
r
r
ò Y ( r )Y ( r ) d( r ) =d
=
r
r
¢
(p- p )
P
P
¢
khi p = p
Tæång tæ
û
nhæ trong E - biãu diãn, ha
ì
m so
ï
ng mä ta traûng thaïi a cua hãû læång
r
tæ trong P - biãu diãn cung âæåc viãt la j (p)
a
Do âo ta co cäng thæc chuyãn âäi ha
diãn nhæ sau:
ì
m song tæ P - biãu diãn sang r - biãu
r
r
r
r
r
Ya(r) = òj a (p)y (r)d(p)
P
(1.3)
r
r
(Thay cäng thæ
ï
c Ya (r) = Cn Un (r) âäi våi toan tæ co phä co
ï
phä gian
å
n
âoan).
Tæ cäng thæc tênh hã sä
r
ú
phán têch ta cung co:
r
r
r
r
= òY
(1.4) la cäng thæc chuyãn trang thai tæ r - biãu diãn sang p - biãu diãn. Våi
j
p
r
Ya
r
d
r
(1.4)
a
p
r
r
j a(P)2 cung la má
û
t âä xac suá
ú
t tçm tháy hat co xung læång la P .
Ta læu y ràng trong r - biãu diãn thç phæång trçnh trë riãng cu
í
a toan tæ xung
læång, ta co
ï
thã tçm âæåc phán phu toa âä cua ham riãng la:
3
2
1 r r
h
1
2ph
æ ö
r
(p,r)
r
Y (r) =
p
ç
÷
e
è
ø
II.DANG CUA TOAN TÆ TRONG CAÏC BIÃU DIÃN:
)
r
Ta hay xet toan tæ tuyãn tênh A . Toan tæ nay tac dung lãn ham song Ya( r )
r
( trang thai a) se cho ha
ì
m Yb( r ) nhæ sau:
)
r
r
A Ya( r ) = Yb( r )
(1.5)
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 3
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Ta hay xet phæång trçnh nay trong L - biã
r
ø
u diãn nao âo
ï .Muäún váy cac
r
ham song Ya( r ), Yb( r ) phai âæåc chuyãn sang L - biãu diãn (theo cac hã sä phán
)
)
têch bãn canh cac ham riãng cua toan tæ L. Gia sæ L co phä gian âoa
ûn thç cac
r
r
ham Ya( r ), Yb( r ) âæåc viãt nhæ sau:
r
r
Ya( r ) =
j
Ln
Un( r )
(1.6)
(1.7)
å
a
n
r
r
Yb( r ) =
j
Ln
Un( r )
å
b
n
)
r
Trong âo
ï
Un( r ) la cac ham riãng æng våi trë riãng Ln cua toan tæ
í
L. Con
ì trang thai b trong L- biãu
j (Ln ), j (Ln ) la cac ha
ì
m song mä ta trang thai a va
a
b
diãn. Ta hay tçm mäi liãn hã giæa j (Ln ) vaj (Ln )
a
b
Viãt lai phæång trçnh(1.4) dæåi dang cán quan tám ta co:
r
)
r
j (L )U (r) = j (Ln )Un (r)
Aå
å
(1.8)
a
n
n
b
n
m
r
*
Nhán hai vã cua phæång trçnh (1.8) våi Um ( r ) la ham riãng tæång æng våi
)
trë riãng Lm cua toan tæ
)
í
L ta âæåc:
r
r
r
r
U* (r)A j (L )U (r) = U* (r) j (Ln )Un (r)
å
å
m
a
n
n
b
m
n
m
r
Láy têch phán theo r ta âæåc:
)
r
r
r
r
r
r
U*m (r)AUn (r)d(r)
j (L ) =
U* (r)Un (r)d(r)
j (Ln )
ò
Têch phán åí vã trai giäúng nhæ trë trung bçnh cua A
ò
å
å
a
n
b
m
n
n
)
r
r
r
Âàt Amn = U*m (r)AUn (r)d(r). Thç phæång trçnh trãn trå thanh:
ò
Amnj (Ln ) = j (Ln )dmn
å
a
å
b
n
n
0 khi m ¹ n
1 khi m = n
Våi
dmn =
Nãn:
Amnj (Ln ) = j (Lm )
(1.9)
å
a
å
b
n
n
)
r
ˆ
Ta chu y Un (r) la ham riãng cua toan tæ L chæ khäng phai cua A . Cäng
thæc (1.9) cho ta mäi liãn hã cua cac ham so
ï
ng trong L - biãu diãùn ma ta cán tçm.
Quay lai kyï hiãu:
j (Ln ) = an
a
j (Lm ) = bm
b
Thç cäng thæc(1.9) se la:
Amnan = bm
å
n
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 4
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
)
Våi m, n laì chè sä cac ham riãng cua toan tæí L
)
Nãu L co k ham riãng thç ta co:
k A an = bm (m=1,2,3...k)
å
mn
n=1
Ta co hã phæång trçnh:
A11a1 + A12a2 + ...+A1kak = b1
(m=1)
(m=2)
(1.10)
(m=k)
A21a1 + A22a2 + ...+A2kak = b2
..............................................
Ak1a1 + Ak2a2 + ...+Akkak = bk
Vã trai cua mäi phæång trçnh tuyãn tênh cua hã phæång trçnh (1.10) co k sä
ˆ
ˆ
hang va cac hã sä Amn thç âàc træng cho toan tæ A . Nhæ váûy trong L - biãu diãn, A
âæåc biãu diãn bàng mät ma trán vuäng k hang, k cät våi cac phán tæ Amn nhæ
sau:
A11 A12 ... A1k
A = (A) = A21 A22 ... A2k
ˆ
...
...
...
...
Ak1 Ak2 ... Akk
Ta mä ta cac ham song an, bn trong L- biãu diãn cung bàng ma trán k hang,
k cät nhæng chè co ca
khac âãu bàng khäng
ïc phán tæ cuía cät thæï nhát la khac khäng, coìn cac phán tæ
ò
a11 0 ... 0 a11 a1
a21 0 ... 0 a21 a2
(an ) =
[
j (Ln )
]
= j (L ) =
=
=
a
a
... ... ... ...
...
...
ak1 0 ... 0 ak1 ak
b1
b2
...
Tæång tæ: (bm ) = j (Lm ) = j (L) =
( ) ( )
b
b
bk
Ta tháy ro rang hã phæång trçnh (1.10) chênh la dang khai triãn cua
phæång trçnh ma trán sau:
(A)(an ) = bm
Hay (A)(j (L)) = (j (L)]
(1.11)
a
b
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 5
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Trong âo (A), (j (L)), (j (L)) la cac ma trán biãu diãn toan tæ va ca
ï
c ham
n, phæång trçnh nay giäng nhæ phæång trçnh biãn âäi ham
song cua toan tæ A trong r- biãu diãn ma ta quen thuäc la:
b
a
song trong L- biãu diã
ù
)
)
r
r
AY(r) = j (r)
Nhæ váy trong L- biãu diãn ta cung viãt tæång tæ phæång trçnh biãn âäi ham
)
song cho toan tæ A la:
)
A j (L) = j (L)
(1.12)
a
b
)
Nhæng trong phæång trçnh (1.12) thçA , j (L), j (L) la cac ma trán.
a
b
)
Nãu ta xet toa
ï
n tæ
í
A trong biãu diãn cua chênh no thç cac ham riãng la cua
)
)
A . Do âo cac phán tæ ma trán (A) biã
ø
u diãn toan tæ A se la:
)
r
r
r
r
r
r
*
*
Amn = Um ( r )A Un( r )d( r ) = An
m
n
n mn
ò
(r)
r
òU ( r ) U ( r )d( r ) = A d
(r)
r
Þ Amn = An khi m = n. Con khi m ¹ n thç Amn = 0. Váy trong biãu diãn cua
)
chênh mçnh toa
ï
n tæ A
la mät ma trán cheo, cac phán tæ cua ma trán la cac trë riãng
cua toan tæ . Dang cac toan tæ trong biãu diãn toa âä ta âa biãt, báy giå ta hay
nghiãn cæu dang cua cac toan tæ trong mät vai biãu diãn quen thuäc.
)
A
ù
í
ï
1.Toan tæí nàng læång trong biãu diãn nàng læång:
Nhæ trãn ta âa noi, toa
ï
n tæ nàng læå
ü
ng trong biãu diãn nàng læång se la mät
a cua nàng læång nhæ sau:
ma trán cheo co cac phán tæ la cac trë riãng cu
í
E1 0 ... 0
0 E2 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... Ek
)
H =
(
H
)
=
Phæång trçnh biãn âäi ham song trong biã
)
ø
u diã
ù
n nàng læå
ü
ng la:
(1.13)
Hj (E) = j (E)
a
a
Màt khac theo mäi liãn hã cua cac
haìm song trong E- biãu diãn ta lai co:
j (Em ) = Hmnj (En )
b
å
a
n
Trong tä
ø
ng å
í
vã phai tát ca cac sä
ú
hang âãu bàng khäng træ säú hang co
n=m. Do âo ta co:
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 6
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
j (Em ) = Hmn j (Em ) = Emj (Em )
b
a
a
Hay ta co thã viãt:
j (E) = Ej (E )
b
a
Nhæ váy (1.13) trå thanh:
)
Hj (E) = Ej (E)
a
a
Ta tháy trong biã
ø
u diã
ù
n nàng læång thç toan tæ nàng læå
ü
ng chè la
ì phep nhán
våi nàng læång ma
âä.
ì
thäi. Giäng nhæ toan tæ toa âä cung chè la
ì
pheïp nhán våi toa
2. Cac toan tæ trong biãu diãn xung læång:
2.1 Toan tæ xunglæång:
Phæång trçnh biãn âäi ham song cua toan tæ xung læång trong biãu diãn
xung læång la:
)
r
r
Pj (p) = j (p)
(1.14)
a
b
Màt khac mäi liãn hã cac ham song trong biãu diãn xung læång cho ta:
r
r r
j (p' ) = P ¢ j (p)dp
b
p p
a
ò
r
p
(Tæång tæ nhæ j (Lm ) = Amn j (Ln ), p la liãn tuc)
b
å
a
n
Trong âo
)
r
r
r r
*(r)p
r
r
r
r
r
r
r
r r
¢
Pp¢p =
r
r
(
r
)
d(r) = P
r
*(r)
r
(
r
r
)
d(r) = Pd(p - p )
Y Y
Y Y
ò
ò
p
p
p
p
r
r
(r)
(r)
r
r
r
r
r
r
r '
Þ j (p' ) =
(
p
)d(
p - p
d(p) = P j (p )
¢
)
¢
a
b
Pj
ò
a
r
(p)
r
r
r
Hay
j (p) = pj (p)
(1.15)
b
a
Tæ (1.14), (1.15) ta suy ra:
)
r
r
r
r
Pj (p) = Pj (p)
b
a
Tæc la trong biãu diã
ù
n xung læång, toan tæ xung læång cung chè la phep
ràng toan tæ xung læång co phä liãn tuc
nhán våi xung læång ma thäi. Ta læu y
ï
ï
nãn no la mät ma trán cheo liãn tuc trong biãu diãn xung læång.
2.2 Toan tæ toa âä:
Xet hat chuyãn âäng trãn truc Ox. Trong (px- biãu diãn) thç phæång trçnh
)
biãn âäi ha
ì
m song cua toan tæ toa
)
û
âä x la:
xj
px
= j
px
(1.17)
a
b
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 7
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Mäi liãn hãû ham song cho ta:
p'x
j
j
px dpx
= òX
¢
pxpx
b
a
px
)
Xp p = Y* (x)Y (x)dx
¢
Våi
Chu y
ò
¢
x
x
x
p
p
x
(x)
ï
cac phán tæ dæåi dáu têch phán theo (x) la trong biãu diãn toaû âä nãn:
ipxx
)
1
h
x = x
va Yp (x) =
2ph e
x
ip x ö
ipx x
x
¶ æ 1
¶px
x
h
h
ˆ
Do âo: xYp (x) =
= - ih
ç
÷
2ph e
e
ç
÷
x
2ph
¶
è
ø
= - ih
Yp (x)
x
¶px
é
ù
¶
¶
Þ Xp p = Y * (x) - ih
Yp (x) dx = - ih
Y * (x)Yp (x)dx
p x
x
)
¢
ê
ú
ò
ò
¢
¢
x
x
p
x
x
¶px
¶px
ë
û
(
x
)
(
x
¶
¢
Þ Xp p = - ih
d(px - px )
¢
x
x
¶px
¢
j (p )
Dæa vao biã
ø
u thæc cua
ta âæåc:
b
x
æ
ç
è
ö
¶
¢
÷
¢
Þ j (p ) = òj (p ) - ih
d
(
px - px
)dpx
b
x
a
x
ç
÷
¶px
ø
px
¢
= - ih j (px )d
d
px - px
a
ò
px
¶j (px )
px - p'x
-
(- ih
d
(
px - px
)dpx
a
¢
¢
Þ j (px ) = - ihj (px )d
)ò
b
a
px
¶px
ng têch phán láy theo px va trong miã
px
Chu y rà
ò
ö
n biãn thiãn cua px co chæ
ï
a
¢
gia trë px . Nhæ váy thç sä han âáu cua vã phai bàng khäng (theo tênh chát ham
âenta).
¶
¶p'x
¢
¢
j (px )
a
Þ j (px ) = ih
b
(Tênh chát ham âenta)
Hay j (px ) = ih
¶
j (px )
(1.18)
b
a
¶px
So sanh (1.18), (1.17), ta âæåc:
¶
)
x = ih
¶px
Tæång tæ våi cac toan tæ toa âä khac va ta co:
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 8
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
¶
¶px
¶
)
x = ih
)
y = ih
¶py
¶
)
z = ih
¶pz
Tæ âo ta suy ra:
r
)
r
r
)
)
)
r = xi + yj + zk
r
r
r
k
æ
ç
è
ö
÷
÷
ø
¶
¶
¶
= ih
i +
j +
ç
¶px
¶py
¶pz
)
r
r
r
Þ r = ihÑp
Tæ dang cac toan tæ âa biãt trong biãu diãn xung læå
dang cac toan tæ khac trong biãu diãn xung læång bàng nguyãn ly tæång æng.
Vê du nàng læång:
ü
ng , ta co thãø suy ra
ì
ï
Px2 + Py2 + Pz2
2m
Ta suy ra toan tæ nàng læång co daûng:
H =
+ V(x,y,z)
p2
2m
¶
¶
¶
æ
ç
è
ö
÷
÷
ø
)
ç
H =
+ V ih
,ih
,ih
¶px
¶py
¶pz
Tæ âo ta viã
ú
t âæåc phæång trçnh Schrodinger trong (p- biã
ø
u diãn) nhæ sau:
2
é
ê
ê
ë
ù
ö
æ
ç
è
p
¶
¶
¶
r
r
ç
÷
ú
+ V ih
,ih
,ih
j (p) = Ej (p)
E
E
÷
2m
¶px
¶py
¶pz
ú
û
ø
p2
2m
Ta tháy ngay nãu ha
û
t chuyãn âäng tæ do thç nàng læång la: E =
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 9
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Chæång2: NÀNG LÆÅNG CUA NGUYÃN TÆ
TRONG ÂIÃN TRÆÅNG
Âä biãn thiãn nàng læång cua cac trang thai dæng cua cac nguyãn tæ dæåi
anh hæång cua âiãn træång ngoai goi la hiãu æ
ïng Stark.
Khi khäng coï âiãn træång ngoai, cac trang thai dæng tæång æng våi mät
mæc nàng læång En. Khi co âiãn træång ngoai våi cæång âä e tac dung, trong toan
tæ Haminton co xuát hiãn sä hang phu:
W=-e .d
Trong âo: d= e.r la toa
ïn tæ mämen læång cæc âiãn cua electron. Nãu hæång
z doc theo vectå âiãûn træång thç toan tæ Haminton cua nguyãn tæ co dang:
)
)
)
H = HO + W
)
Trong âo toan tæ W la mät toan tæ nho goi la toan tæ nhiãu loan.
Khi co âiãn træång ngoai tac dung, træåc hãt sæ âäi xæng cua hã thay âäi, sæ
âäi xæng xuyãn tám thay thãú bàng sæû âäi xæng truc, khi âo tênh chát cua thã nàng
thay âäi khi z ® ±¥ . Thã nàng giam khi z ® - ¥ (electron<0) nãn se xuát hiãn
xac suát cua electron truyãn truyãn qua hang rao thã, nghéa la sæ ion hoa tæ phat
cua nguyãn tæ dæåi a
í
nh hæång cua âiã
û
n træå
ì
ng ngoai, kha nàng cua electron træyãn
ng.
qua hang raìo thã xuáút hiãn trong sæ må rä
ü
ng cua cac mæc nàng læåü
Cac tênh toan âënh læå
âiãn træång ngoai tac dung co thã tiãn hanh bàng phæång phap ly
loan, nãu cæång âä cua træång âu nho, nghéa la trong træång håp âä biãn thiãn cua
ü
ng vã
ö
âä biãn thiãn nàng læång cua nguyãn tæ khi co
ï
thuyãt nhiãu
ì
í
ü
cac mæc nho so våi khoang cach cua cac mæc lán cán cua nguyãn tæ khi khäng co
træång.
ï
Trong phe
ï
p gán âung cáp mät cu
í
a ly thuyãt nhiãu loan sä hiã
ûu chênh cho
nàng læång cua hã khäng nhiãu loan âæåc xa
ï
c âënh båi gia trë trung bçnh cua toan
tæ nhiãu loan trong tra
hæång cua nhiãu loan:
û
ng thai âo. Âä biãn thiãn nàng læång trong thai dæåi anh
DE = e.d
Trang thai kêch thêch âáu tiãn cua nguyãn tæ Hydro tæång æng våi trang thai
nay co ham song dæåi dang tä hå
ü
p tuyãn tênh nhæ sau:
Y = a y 1 + by 2
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 10
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Mämen læång cæ
û
c trung bçnh khac khäng co thã co trong ca cac hã læång tæ
n. Nãu mät hã nhæ thã khäng co nàng læång
hoan toan xac âënh. Do âo âä bát âënh cua nàng læång lån hån khoang cach giæa
cac mæc co tênh chàn le khac nhau.
co nhom cac trang thai háu nhæ suy biã
ú
î
Ta se nghiãn cæu hiãu æng Stark âäi våi nguyãn tæ Hydrä trong âiãn træång
trong sæ gán âung phi tæång âäi tênh khäng tac âäng lãn spin cua electron.
ö
ï
Do âo
cå ban 1s cua nguyãn tæ Hydro co tênh chàn le dæång trong phep tênh gán âu
cáp mät.
Nàng læå
ï trong phep tênh gán âung cáp mät cua ly thuyãt nhiãùu loaûn traûng thai
ï
ng
ü
ng cua trang thai na
ì
y khäng âä
ø
i khi âiãn træång tac dung. Khi
nghiãn cæu trang thai kêch thêch âáu tiãn æng våi n=2, cán chuï ràng trang thai nay
suy biãn bäi g (bác 4). Âã xac âënh sæ dëch chuyãn cua cac mæc trong phep gán
âung cáp mät cu
í
a ly thuyãt nhiãu loan cán phai khao sa
ï
t tä håp tuyã
ú
n tênh cua cac
trang thai suy biãn.
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 11
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Chæång 3: LY THUYÃT NHIÃU LOAN
I.BAI TOAN NHIÃU LOAN DÆNG KHÄNG SUY BIÃN:
Phán lån cac bai toa
xac. Vç váy, trong nhiãu træång håp ta phai du
ham riãng va trë riãng cua cac toan tæ biãu diãn biãn sä
nhiãu loan ma ta nghiãn cæu dæåi âáy la mät phæång phap quan trong âã giai cac
bai toan cå hoc læång tæ. Phæång phap áy cu thã nhæ sau:
Xet hã læång tæ co toan tæ nàng læång H khäng phu
ï
n trong cå hoc læång tæ âãu khäng giai mät ca
ng phæång phap gán âung âã tçm cac
âäng læc. Phæång phaïp
ïch chênh
û
ö
ì
ï
ì
í
ú
ü
)
û
û thuäc thåi gian thç
phæång trçnh Schrodinger khäng phu thuäc thåi gian la:
)
r
r
Hy k
r
= Eky k
r
(3.1)
Âáy la phæång trçnh vi phán hang hai, mæc âä phæc tap cua phæång trçnh phu
thuäc vao cac yãu tä
ï
ú:
Sä toa âä nhiãu hay êt.
Dang cua thã nàng la phæc tap hay âån giaín.
Cac bai toan âån gian ta âa giai nhæ bai toan chuyãn âäng mä
toan dao âäng tæ âiãu hoa, bai toan chuyãn âäng cua electron trong nguyãn tæ
hidro. Con noi chung viãc giai phæång vi phán trãn la phæc tap va khäng thæc hiã
üt chiãu, bai
ì
ø
ï
û
n
p
âæåc bàng phæång pha
gán âung.
ï
p giai têch. Khi âo ta phai giai bai toan bàng phæång pha
ï
Näi dung cua phæång phap nhiã
)
ù
u loan âã gia
í
i phæång vi phán trãn la ta tçm
)
)
r
r
mät toan tæ H0 gán bàng H sau cho phæång trçnh trë riãng H0y n0 (r) = En0y 0n (r)
)
cua H0 la giai âæåc.
r
Nghéa la
r
ì
ta tçm âæåc trë riãng E0n va cac ha
ì
m riãng y 0n (r) räi dæa vao E0n
r
va y 0n (r) âã suy ra Ek va y k (r) cua phæång trçnh (3.1).
)
)
)
)
Khi âo
ï
ta âàt H = H0 + W . Trong âo toan tæ
y phæång trçnh (3.1) trå thanh:
= Ek Yk (r)
í
W la mät toa
ï
n tæ nho goi la
ì
nhiãu loan. Nhæ vá
û
í
ì
)
)
r
r
H0 + W
Yk
r
(3.2)
Âã giai phæång trçnh nay ta hay chuyãn no sang Eo - biãu diãn
r
r
Ta co: y k
r
=
Cny 0
r
va thay vao (3.2) ta âæåc:
å
k
n
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 12
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
)
)
r
r
0
H0 + W
Cn y 0
r
= E
Cn y
r
å
k å
n
n
n
n
)
)
r
r
r
Hay
Cn
H0y 0
r
+ Wy 0
r
= Ek Cn y 0
r
(3.2)’
ta âæåc
n
å
n
n
å
n
n
r
r
Nhán hai vã
ú
(3.2) våi y 0m* (r) räi láy têch phán theo
r
)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Cn E0n y 0m*
r
y n0
r
d(r) + Cn y 0m*
r
Wy 0
/
r
d(r) = E
Cn y 0m*
r
y n0
r d(r)
å
å
k å
n
n
ò
r
ò
ò
r
r
n
n
(r)
(r)
(r)
Hay
Cn E0ndmn
+
Cn Wmn = E
Cndmn
å
å
k å
n
n
Suy ra
Trong âo
Cm E0m + Cn Wmn = Ek Cm
(3.3)
å
n
)
ï
Wmn la phán tæ ma trán
W
trong E0 - biãu diãn cac chè sä
ú m, n
)
la chay suät cac ham riãng cua H0 .
Báy giå ta biãu diãn Ek va cac Cn (cung la Cm) dæåi dang chuäii va
cac E0k la âa biã
t:
Ek = E0k + E1k + E2k + ...
Cn = C0n + C1n + C2n + ...
Trong âo ca hiãu chênh bác i, quy âënh bác gán âung cua c
c Eik ,Cik la cac sä
n, chung ta co cac vä cung be bác i (i= 1,2... va W la cac vä be
ì
chu y
ú
ï
ú
yãu tä nhiãu loa
bác 1)
û
ï
Âæa Ek ,Cn ,Cm vao (3.3) ta âæåc
C0m + C1m + Cm2 +...E0k + E1k + E2k +...- Em
=
C0n + C1n + C2n +...
Wmn
å
n
Khai triãn têch thæa sä va cán bà
cac phæång trçnh:
Cm0
C0m E1k + C1m
ò
ng cac sä hang cung bác å hai vã âæåc hã
Eok - E0m
E0k - E0m
= 0
(3.4)
=
C0n Wmn
(3.5)
(3.6)
å
n
C0m E 2k + C1m E1k + C2m
E0k - E0m
=
C1n Wmn
å
n
....................................
Giai hã phæång trçnh trãn ta tçm âæåc cac gia trë E0k ,Cn0 va cac sä hiãu chênh
bác 1, bác 2 ... cua chung. Nãu ta dæng lai å sä hiãu chênh bác nao thç bai toan
dæng lai å gán âung bác áy.
Chàng han ta hay giai bai toan trong gán âung bác mät, khi áy ta phai tçm
âæåc : Ek = E0k + E1k va Cn = Cn0 + C1n âã suy ra ha
m song tæång æng våi Ek la:
ì
í
û
ì
û
ì
r
r
0
n
Yk (r) = Cn y (r)
å
n
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 13
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Âã tçm E0k ta hay giai (3.4) la phæång trçnh gá
toan khäng co nhiãu loan.
Ma bai toa
ön âung bác khäng hay bai
ù
ï
n khäng co nhiãu loan thç ta âa
î
gia
í
i âæåc nãn cac trë riãng E0k va
r
cac ham riãng y 0k (r) tæång æ
ïng la âa biãút
Khi âo trong (3.4) ta cho m=k thç C0m = C0k ¹ 0
r
r
Màt khac khi khäng co nhiãu loan thçy 0n (r) = Cn0y n0 (r).Trong âo tát ca
å
n
cac sä hang co n ¹ k = m thç C0n âãu bàng khäng chè co mät sä duy nhát co
n = k = m la ¹ 0, âo laC0k
r
r
Þ y 0n (r) = C0k y n0 (r)
Þ C0k = 1
Váy å gán âung bác 0, ta co:
Ek = E0k - E0m
r
r
y k (r) = y 0k (r)
la trë riãng va ham riãng tæång æng cua nàng læång khi khäng co nhiãu loan
t va C0k = 1,(n = m = k) .
ma ta âa biã
ú
Âã tçm cac hã sä chênh E1k ,C1n ta pha
í
i giai phæång trçnh gán âung (3.5) tiãp
theo.
Cho m =k phæång trçnh (3.5) trå
C0k E1k + C1n E0k - E0k
í
tha
ì
nh
C0n Wkn
=
å
n
Våi n ¹ k = m thç Cn0 = 0,con våi n = k = m thç C0n = C0k = C0m = 1. Tæ âo
suy ra:
E1k = Wkk
(3.7)
Våi m = n ¹ k va chu y khi âo C0n = 0, Cm0 = 0 ta co phæång trçnh
C1m
E0k - E0m
=
C0k Wmk
å
n
Ma C0k = 1
Wmk
E0k - E0m
Þ C1m =
m ¹ k
(3.8)
Å âáy ta hiãu vai tro cua m va n la nhæ nhau nãn ta co thã thay n cho m å
cäng thæc trãn.
Nhæ váy trong gán âung bác mät thç gia trë cu
ham song tæång æng la:
í
a nàng læång va biãu thæc cua
(3.9)
ï
Ek = E0k + E1k = E0k + Wkk
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 14
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
)
( Wkk la phán tæ
í
ma trán W trong E0 biãu diãn)
r
r
r
r
Va: Y (r) =
C0n + C1n
Y 0 (r) = C0 Y 0 (r) +
C1n Y 0
r
k
k
å
å
å
k
n
n
n
n
n
Wnk
E0k - E0n
Wnk
Chu y C00 = 0 khi n ¹ k va C1n =
Ta âæåc:
r
r
r
Y (r) = Y 0 (r) +
Yn0 (r)
(3.10)
å
k
k
E0k - E0m
n
Âã phep tênh gán âung co y
âiãu kiãn âã ta chon nhiãu loan W.
Muän tênh cac sä hiãu chênh bác cao hån, ta tiãp tuc giai cac phæång trçnh
gán âung bác cao hån.
ï
nghéa thç Wnk << E0k - E0n . Âo cung la mät
ø
II.NHIÃU LOAN DÆNG CO SUY BIÃN:
Å trãn ta âa xet bai toan khäng suy biãn, nghéa la æng våi mät mæc nàng
)
læång thç co mät ham song duy nhát, Báy giå ta xet trong træång håp H0 co suy
biãn, tæc la æng våi mät mæc nàng læång thç co nhiãu ham song tæång æng khac
nhau .
Ta gia sæ mæc nàng læång cua E0n hã læång tæ
í
co g ham song tæång æng
r
r
r
r
y 0n1 (r),y 0n2 (r),...y n0g (r). Ta ky hiãu cac ha
ì
m song âo
ï
lay 0na
r
. Nhæ váy haìm song
r
y k
r
trong Eo - biãu diãn co dang.
r
r
y (r) =
Cna y 0na (r)
å å
k
n
,a
Âæa vao phæång trçnh (3.2) ta âæåc:
(H0 + W)
)
)
r
r
Cna y 0na (r) = Ek
Cna y 0na (r)
å å
å å
n
a
n
a
)
)
r
r
r
Hay
Cna
H0y n0a (r) + Wy n0a (r)
r
= Ek
Cna y 0na (r)
å å
å å
n
a
n
a
r
0*
Nhán ca hai vã phæång trçnh trãn våi y (r) räi láy têch phán theo
r
r
ta
mb
âæåc:
)
r
r
r
r
r
Cna E0n
y
(r)
(r)y 0na (r)d(r) +
Cna
y
r
(r)Wy 0na (r)d(r)
0*
mb
0*
mb
å å
å å
,a
ò
ò
(r)
r
n
,a
n
r
r
r
0*
mb
= Ek
Cna
y
(r)
(r)y 0na (r)d(r)
å å
ò
r
n
,a
Hay
Cna E0ndmb,na
+
Cna Wmb,na = E
Cna dmb,na
å å
å å
k å å
n ,a
n
,a
n
,a
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 15
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Þ Cmb
Ek - E0m
=
C W
a ,b =1¸ g
(3.11)
å å
na
mb,na
n
,a
)
r
r
r
*
Trong âo: Wmb,na
mb (r)Wy na (r)d(r)
= òy
r
(r )
Báy giå ta biãu diãn Ek va cac Cna (cung nhæ Cmb ) dæåi dang chuäi va chu
y cac E0k la âa biãt:
Ek = E0k + E1k + E2k ......
Cna = C0na + C1na + C2na ......
Âæa Ek ,Cna ,Cmb vao (3.11) ta âæåc:
C0mb + C1mb + C2mb ...Ek0 + E1k + E2k ... - Em0
=
C0na + C1na + C2na + ...
å å
n
a
Khai triãn têch cac thæ
âæåc hã cac phæång trçnh gán âung liãn tiãp nhæ sau:
C0mb E0k - E0m
= 0
C0mb E1k + C1mb E0k - Em0 Cn0a Wmb,na
ìa sä va cán bàng cac sä hang cung bác å hai vã ta
(3.12)
(3.13)
=
å å
n
a
r
Ta hay tênh cac trë riãng Ek va cac ham riãng tæång æng y k (r). Bai toan rát
phæc tap nãn ta chè dæng lai å gán âung bác mät thäi.
Khi khäng co nhiãu loan (hay nhiãu loan bác khäng) thç phæång trinh (3.12)
cho ta E0k = E0m Þ m = k . Nhæng å âáy Cm0 b = C1kb ¹ 0 chæ khäng bàng mä
t nhæ
træåc âæåc (vç con suy biãn theo b ). Nhæ vá
y ta co g gia trë C0mb ¹ 0.
Thay m=k vao phæång trçnh (3.13) ta âæåc.
û
û
û
ü
û
C0 E1 =
C0na Wkb,na
å å
kb
k
n
a
C0na Wkb,na
C0kb
å å
Þ E1k =
n
a
C0ka Wkb,ka
å
Chu y: n ¹ k thç C0na = 0 nãn E1k =
(3.14)
a
C0kb
Vç C0kb co g co gia trë khac nhau va khac khäng noi chung sä hiãu chênh
E1k co g gia trë kha
ï
c nhau, nhæng gia trë nay thç gán bàng nhau va ta kê hiãu chung
la:
E1k (1),E1k (2),...,E1k (g)
Nhæ váy trong gá
ö
n âu
ï
ng bác mät, mæc nàng læång Ek co
ï g gia trë tæång æng
la:
Ek1 =
E0k + E1k1
;Ek2 ;...;Ekg =
=
E0k + E1k2 E0k + E1kg
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 16
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Co ham soïng cua hã læång tæ âæåüc tçm dæåi dang:
r
r
y k (r) =
C0na + C1na y 0na (r)
å å
n
a
Chu y ràng n ¹ k thç C0na = 0
r
r
r
Suy ra y k (r) = C0ka y k0a (r) +
C1na y 0na (r)
å
å å
a
n
a
Viãc tênh ca
ï
c sä hiã
û
u chênh C1na la phæc tap nãn våi ham so
ï
ng chè dæng lai å
(3.15)
gán âung bác khäng. Khi âo ham song co
r
ï
dang:
r
y k (r) = C0ka y k0a (r)
å
a
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 17
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Chæång 4:ÆNG DUNG LY THUYÃT NHIÃU LOAN
TÇM HAM SONG VA NÀNG LÆÅNG CUA NGUYÃN
TÆ HYÂRÄ TRONG ÂIÃN TRÆÅNG
Thæc nghiãm cho tháy khi âàt nguyãn tæ hydro phat xa trong âiãn træång
thç co hiãn tæång mät sä vach quang phä bë tach ra. Hiãn tæång nay goi la hiãu
æng Stark. Sæ tach vach trong quang phä
Ta hay xet âiãn træång ngoai co cæång âä F hæång theo truc Oz. Phá
co thãm cua nguyãn tæ la W, no âæåc coi nhæ nhiãu loan va ta se giai bai toan bàng
lê thuyãt nhiãu loan âã tçm cac trë riãng va ham riãng tæång æng cua nàng læång.
Mæc nàng læång cua nguyãn tæ khi khäng co nhiãu loan, tæc khäng co âiãn
træång ngoai E0n va ha
m song tæång æng la y n,l,m våi l = 0 y(n-1). Chu y ràng chè
sä l co nhiãu gia trë æng våi mäi n xac âënh, âiãu âo chæng to ràng mæc nàng læång
ø
chæ
ï
ng to co sæ
û
tach mæc nàng læång.
ö
n nàng
ì
ü
ï
ö
ï
ò
E0n co cac trang thai suy biãn theo l va do âo theo ca m. Ca
ïc trang thaïi nay âæåc
viãt la:
y 0nlm = Rnl
r
Plm (cosq)eimj
q, j la cac ham cáöu ta âa biãt.
Trong âo Plm cos qeimj = Ylm
Báy giå ta xet mæc nàng læång E20 cua nguyãn tæ.
Våi n=2 thç nguyãn tæ co bän trang thai:
y o200 = R20 Y00 ta kê hiãu la: y 1o
y o210 = R21Y0 ta kê hiãu la: y o2
1
y o211 = R21Y11 ta kê hiã
y o21- 1 = R21Y1- 1 ta kê hiãu la: y o4
Nghéa la mæc nàng læång Eo2 co suy biãn bä
biãt nhæ sau:
û
u la: y 3o
ü
i bän.Cac ha
ì
m Rnl ,Ylm ta âa
1
4p
3
Y00 =
Y0 =
cosq
1
4p
3
8p
Y±1 = ±
sinqe±ij
1
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 18
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
r
2a
R20 =
(1-
)e-
1
r
2a
2a3
r
2a
1
6a3
r
2a
R21
=
e-
h2
me2
Trong âo a =
la ban kênh Bohr thæ nhát.
1. Gia trë cac mæïc nàng læång :
Khi âàt nguyãn tæ trong âiãn træång ngoai thç mæc nàng læångãne
thanh mät sä mæc. Ta hay tçm gia trë cac mæc bë tach ra nay trong nhiãu loan bác
mät. Tæc la phai tçm ca
c sä hiãu chênh E12 . Váy ta phai giai trong gán âung bác mä
âäi våi bai toan nhiãu loan.
Khi khäng co nhiãu loa
C0mb (E02 - E0m ) = 0 Þ E20 = Em0 Þ m = 2
Thay m = 2 vao phæång trçnh gán âung bác mät (3.13) va chu y n ¹ 2 thç
C0na = 0 ta âæåc:
î bë tach
ï
ì
ï
ù
ûn, giai (3.12) thç ta co:
ö
4
C20b E12 = C20a W2b,2a
å
a =1
Ta co thã bo chè sä 2 å hã sä phán têch va yãu tä nhiãu loan cho âå ræåm ra,
ta âæåc:
4
Ca0 Wba - Cb0E12 = 0 (b =1¸ 4)
å
a =1
Cu thã ta co
ï
hã 4 phæång trçnh sau:
b =1Þ C10 (W - E12 )+ C20 W + C30 W + C04 W = 0
11
12
13
14
b = 2 Þ C10 W21 + C20 (W22 - E12 )+ C30 W23 + C04 W24 = 0
b = 3 Þ C10W31 + C20 W32 + C30 (W33 - E12 )+ C04 W34 = 0
b = 4 Þ C10W41 + C20 W42 + C30 W43 + C40 (W44 - E12 ) = 0
(4.16)
Âáy la hã phæång trçnh tuyãn tênh âäi våi Ca0 . Âã bai toan khäng nhán
nghiãm tá
ö
m thæång (Ca0 = 0 ) thç âënh thæ
ï
c cua no
ï
phai bàng khäng. Tæc la:
(W - E12 )
W
W
W
11
12
13
14
W21
W31
W41
(W22 - E12 )
W23
W24
= 0
W34
W32
W42
(W33 - E12 )
W43
(W44 - E12 )
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 19
Luán vàn tät nghiãp
&
GVHD: Nguyãn Xuán Tæ
Muän giai bai toan âënh thæc trãn âã tçm E12 ta phai tênh cac phán tæ ma
trán Wba .
)
Wba = y bo*Wy oa dv
ò
Trong âo cac y a0 la âa biãt, âo la: y 10 ,y 20 ,y 30 ,y 04 , chung la cac ham riãng
tæång æng våi mæc nàng læång E20 khi khäng co nhiãu loan. Têch phán láy theo thã
têch vç electron chuyãn âäng trong khäng gian.
Chu y ràng: dv = r2drsinqdqdj . Trong âo: q = 0 ¸ p,j = 0 ¸ 2p,r = 0 ¸ ¥
Con W = eFz = eFrcosa
Ta se tênh 16 têch phán trãn:
Têch phán thæ 1:
2p p ¥
)
)
o*
o
y 1 Wy 1 r2 .dr.sin q.dq.dj
= òòòò
W
=
o * W y o dV
ò y
11
1 1
0 0 0
r
2a
r
2a
-
-
1
r
2a
1
4p
1
r
2a
æ
ö
æ
ö
Våi: y 1o = R20Y00 =
1-
e
=
1-
e
÷
ç
÷
ç
2a3
8pa3
è
ø
è
ø
r
r
2p p ¥
é
ê
-
ù
é
-
ù
1
8pa3
r
1
8pa3
r
æ
ö
æ
ö
r2 .dr.sin q.dq.dj
ú
2a
2a
W11 =
1-
e
e.F.r.cos q
1-
e
÷
ç
÷
ç
ú
ê
òòò
2a
2a
è
2p p ¥
ø
è
ø
0 0 0 ê
ë
ú
ê
ë
ú
û
û
æ
ö2
÷
r
-
1
r
2a
3
a
1-
e e.F..r .dr.cosq.sinq.dq.dj
= òòò
ç
3
0 0 0 8pa
è
ø
æ
ö2
÷
2p
p
¥
r
a
-
1
r
2a
3
= òdj òcosq.sinqdqò8pa
1-
e e.F.r .dr
ç
3 è
ø
0
0
0
2p
p
r
a
¥ æ
ö2
-
e.F
r
3
=
dj cosq.sinqdq 1-
e r .dr
÷
ç
8pa3
2a
ø
cos2 q p
ò ò
ò
0 è
0
0
p
p
(
cosq
)
= -
= 0
ò
Do cosq.sinqdq = ò- cosqd
0 0
2
0
Þ W = 0
11
Têch phán thæ 2:
2p p ¥
)
)
W = y 1o*Wy o2dV =
y 1o*Wy o2 r2drsinqdqdj
12
ò
òòò
0 0 0
r
2a
r
2a
-
-
1
r
2a
e-
r
1
4p
1
r
2a
æ
ö
æ
ö
y 1o = R21Y00 =
1-
e
=
1-
e
ç
÷
ç
÷
2a3
1
8pa3
1
è
ø
r
è
ø
r
e- cosq
3
r
y o = R 21Y10 =
cos q =
2a
2a
2
6a3
8pa3
2a
2a
4p
SVTH: Nguyãn Thë Nga
?
Trang 20
Tải về để xem bản đầy đủ
38 trang
14280
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Cơ lượng tử - Nguyễn Thị Nga", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- luan_van_co_luong_tu_nguyen_thi_nga.pdf
